Enunciado

Faça o gráfico da função

f x = 1     ,   s e   x ≤ - 1 - x       , s e     - 1 < x < 0 1         ,   s e   x = 0 - x     , s e     0 < x < 1 1       , s e       x ≥ 1

Em seguida discuta em detalhes, os limites, limites lateria s continuidade e continuidade lateral de f ( x ) em x = - 1 ,   0 e 1 . Algumas dessas continuidades é removível? Explique

Passo 1

O primeiro passo é lembrar as definições de continuidade e continuidade lateral. Sendo assim,

Pelo teste de continuidade temos que uma f ( x ) é continua em c (ponto qualquer) se e somente se,

  1. f ( c ) existir ( c   pertencer ao domínio de f . )
  2. l i m x → c f x existir ( f possui um limite quando x → c )
  3. l i m x → c f x = f ( c ) (o limite é igual ao valor da função no ponto c )

Já para continuidade lateral, temos que f ( x ) é continua no ponto c , se

l i m x → c - f x = l i m x → c + f x

Passo 2

O segundo passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em x = - 1

Mas para isso temos que analisar f ( x ) com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando x → - 1 - estamos com valores menores que - 1 , então f x = 1 ,

l i m x → - 1 - f x = l i m x → - 1 - 1 = 1

Quando x → - 1 + estamos com valores maiores que - 1 , então f x = - x ,

l i m x → - 1 + f x = l i m x → - 1 + - x = - ( - 1 ) = 1

Logo,

l i m x → - 1 - f ( x ) = l i m x → - 1 + f x

Portanto, em f x contínua lateralmente em x = - 1 .

Verificando a continuidade

  1. f - 1 = 1
  2. l i m x → - 1 f x = l i m x → - 1 1 = 1

Sendo assim, os limites existem, pois, ambos dão um número, além disso

3. l i m x → - 1 f x = 1 = f - 1 ⇒ l i m x → - 1 f x = f - 1

Portanto, contínua em x = - 1 .

Passo 3

O terceiro passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em x = 0  

Para isso temos que avaliar f ( x ) com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando x → 0 - estamos com valores menores que zero, então f x = - x ,

l i m x → 0 - f x = l i m x → 0 - - x = - 0 = 0

Quando x → 0 + estamos com valores maiores que zero, então f x = - x ,

l i m x → 0 + f x = l i m x → 0 + - x = - 0 = 0

Logo,

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 + f x

Portanto, em f x contínua lateralmente em x = 0 .

Verificando a continuidade

  1. f 0 = 1
  2. Vimos pela continuidade lateral que l i m x → 0 - f x = l i m x → 0 + f x = 0
  3. Se tanto pela esquerda quanto pela direita o limite deu zero , então

    l i m x → 0 f x = 0

  4. Porém, quando isso acontece

l i m x → 0 f x = 0 ≠ 1 = f 0

Como l i m x → 0 f x ≠ f 0 então f ( x ) é descontinua em x = 0 .

  f , não faz muita diferença pois o papel dele é simplesmente dar um “salto” na função de depois voltar para o caminho que ela estava seguindo, quando isso acontece dizemos que essa descontinuidade é removível

Passo 4

O quarto passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em x = 1

Mas para isso temos que analisar f ( x ) com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando x → 1 - estamos com valores menores que 1 , então f x = - x ,

l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 - - x = - 1

Quando x → 1 + estamos com valores maiores que 1 , então f x = 1 ,

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + 1 = 1

Logo,

l i m x → 1 - f x ≠ l i m x → 1 + f x

Quando isso acontece dizemos que esse limite não existe.

Verificando a continuidade

  1. f 1 = 1

2.Vimos que l i m x → 1 - f x ≠ l i m x → 1 + f x

Fazendo com que o limite não existisse, sendo assim l i m x → 1 f x também não poderá existir.

Como l i m x → 1 f x   não existe, então f ( x ) é descontinua em x = 1 .

Resposta

f ( x ) é continua em x = - 1 , porém é descontinua em x = 0   e x = 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em que pontos as funções nos Exercícios 13-30 são contínuas? 24. y = x 4 + 1 1 + s e n 2 x
Em que pontos as funções nos Exercícios 13-30 são contínuas? 29. g x = x 2 - x - 6 x - 3 ,x ≠ 3 5,x = 3
Em que pontos as funções nos Exercícios 13-30 são contínuas? 30. g x = x 3 - 8 x 2 - 4 ,x ≠ 2ex ≠ - 2 3 , x = 2 4 , x = - 2
Dê um exemplo de uma funçãof ( x ) que seja contínua para todos os valores de x, exceto x = 2 , em que ela apresenta uma descontinuidade removível. Explique como você sabe que f é descontínua emx = 2
Dê um exemplo de uma função g(x) que seja contínua para todos os valores de x, exceto x=-1 , em que ela apresenta uma descontinuidade não removível. Explique como você sabe que g é descontínua e por q