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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 1.Exercícios práticos - Ex. 76

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Faça o gráfico da função y = ln ⁡ x 2 + c para c = - 4 , - 2 ,   0 ,   3 e 5 . Como o gráfico se altera à medida que c é alterado.

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Portanto, esboçaremos o gráfico das nossas 5 funções (variando o valor de c ) utilizando softwares. A partir das curvas obtidas, analisaremos o que acontece com elas à medida que alteramos o valor de c . Isto é, verificaremos o domínio, a imagem, comportamento quando x → ± ∞ , por exemplo.

Passo 2

Vamos começar por esboçar o gráfico das nossas funções. Vejamos então abaixo:

Os valores de c relativo a cada curva estão relacionados com as suas cores.

Passo 3

Vamos começar a nossa análise pelo domínio da nossa função. Quando c = 0 , percebemos que a nossa função se aproxima de 0 , isto é, x → 0 , mas nunca é igual a ele. Isto decorre da função l n ⁡ ( ) , a qual possui como argumento um número maior que zero. A medida em que diminuímos o valor de c , diminuímos o domínio da função. Já para c > 0 , o domínio vira os reais.

Passo 4

Vejamos a agora a imagem da nossa função. Para c ≤ 0 , a imagem vai de menos infinito até mais infinito. Já à medida que adotamos um número c > 0 , limitamos inferiormente o intervalo da nossa imagem. Além disto, à medida em que aumentamos o valor de c , reduzimos cada vez mais o intervalo da imagem.

Passo 5

A função possui assíntotas verticais para c ≤ 0 . Já para valores maiores que zero, não há mais assíntotas verticais.

Resposta

O domínio da função diminui à medida que assumimos valores de c ≤ 0 . Já para valores maiores que zero, o domínio é constante e iguais aos reais.

Já a imagem da função, restringimos o seu intervalo quando adotamos valores de c cada vez maiores e maiores que 0. Já para valores menores ou iguais a 0, a imagem é constante.

Em relação as assíntotas verticais, elas só existem para valores de c ≤ 0 .

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