Enunciado

Faça o gráfico da função

y = sin ⁡ π x 2 + 1

Explique a relação entre a fórmula e o que você observa.

Passo 1

O primeiro passo é considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = sin ⁡ π x 2 + 1

Ai nesse momento você pode pensar ...

Ou seja, veem à mente aquele monte de informação sobre a função seno, porém, precisamos lembrar que o nosso objetivo é explicar o comportamento da função e não perder tempo com informações desnecessárias.

Passo 2

O segundo passo é olhar para f ( x ) e perceber que como se trata de uma função trigonométrica precisamos analisar as características do seu argumento,tais como: os valores máximos ou mínimos, se a f ( x ) é crescente ou não.

Dessa forma, Note que o argumento de f ( x ) é uma divisão da forma,

π x 2 + 1

Onde não há nenhum número que possa zerar o denominador, sendo assim o domínio da função são todos os números Reais.

Outro fato interessante é perceber que o argumento de f ( x ) sempre será maior que zero e menor que π . Isso acontece, no primeiro caso x está ao quadrado e consequentemente sempre será positivo, já e segundo caso , como o denominador é maior do que 1,então a fração será menor do que π , ou seja,

π x 2 + 1 < π 1 = π

Sendo assim, no intervalo de 0 , π ,sabemos que f ( x ) é positiva,ou seja, seu gráfico está acima do eixo   x .

Ale disso, outra coisa a ser analisada é para quais valores de x   , f ( x ) assume um máximo ou um mínimo . Com isso, percebemos que em x = ± 1 ,

f x = sin ⁡ π ( - 1 ) 2 + 1 = sin ⁡ π 1 + 1 = sin ⁡ π 2 = 1

e,

f x = sin ⁡ π ( 1 ) 2 + 1 = sin ⁡ π 1 + 1 = sin ⁡ π 2 = 1

Logo, f x   assume seu máximo em x = ± 1 .

Já , quando x = 0 percebemos que

f x = sin ⁡ π ( 0 ) 2 + 1 = sin ⁡ π 0 + 1 = sin ⁡ π 0 = sin ⁡ π = 0

f x   assume um mínimo.

Passo 3

O terceiro passo é observar o comportamento de f x quando x → ∞ , ou seja, estamos verificando se f ( x ) possui alguma assíntota horizontal.

Usando a continuidade da função seno podemos passar o limite para” dentro” o argumento de f x ,

lim x → ∞ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ π x 2 + 1 =   lim x → ∞ sin ⁡ lim x → ∞ ⁡ π x 2 + 1

Como   π é um número, então o argumento de f ( x ) é uma divisão de polinômios. Além disso como o limite é de x → ∞ , podemos dividir em cima e em baixo pela maior potência de x , ou seja,

lim x → ∞ f ( x ) = sin ⁡ lim x → ∞ ⁡ π x 2 + 1 = sin ⁡ lim x → ∞ ⁡ π x 2 x 2 x 2 + 1 x 2 = sin ⁡ lim x → ∞ ⁡ π x 2 1 + 1 x 2

Utilizando a regra do quociente (o limite do quociente é o quociente dos limites) e a regra da soma (o limite da soma é a soma dos limites).

l i m x → ∞ f x = sin ⁡ lim x → ∞ ⁡ π x 2 1 + 1 x 2 = sin ⁡ l i m x → ∞ π x 2 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x 2 = sin ⁡ 0 1 + 0 = sin ⁡ 0 = 0 .

Portanto, quando x → ∞   ,   f ( x ) se aproxima de zero, ou seja ,   f ( x ) possui uma assíntota horizontal.

Resposta

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