Enunciado

Faça o gráfico da função

y = x 2 3 + 1 x 1 3

Explique a relação entre a fórmula e o que você observa.

Passo 1

O primeiro passo é considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x 2 3 + 1 x 1 3

Para isso precisamos reescrever f ( x ) . E isso pode ser feito calculando o MMC , ou seja,

f x = x 2 3 + 1 x 1 3 = x 2 3 1 + 1 x 1 3 = x 1 3 .     x 2 3 + 1   .   1 1   .   x 1 3 = x 1 3 .     x 2 3 + 1     x 1 3

Utilizando a regra de multiplicação de potências, teremos que,

f x = x 1 3 .     x 2 3 + 1     x 1 3 = x 1 3 + 2 3 + 1     x 1 3 =   x 1 + 2 3 + 1     x 1 3 = x 3 3 + 1     x 1 3 = x 1 + 1     x 1 3 = x + 1     x 1 3

Utilizando o famoso “quem tá no sol vai para sombra e quem está sombra vai para o sol” temos que x 3 = x 1 3 , então

f x = x + 1     x 1 3 = x + 1     x 3

Sendo assim,

f x = x + 1     x 3

Passo 2

O segundo passo é perceber que ao olharmos f ( x ) , veremos que estamos com uma divisão de funções, que tem um “probleminha” quando x = 0 , ou seja, quando substituirmos esse número na função o denominador zera.

Passo 3

O terceiro passo é notar que quando isso acontece significa que f ( x ) possui uma assíntota vertical. Porém, é necessário verificar se isso é verdade, ou seja, precisamos ver se, l i m x → 0 + f x =   l i m x → 0 - f x = ± ∞ .

O que é simples de verificar pois só precisaremos substituir x = 0 em cada um dos limites laterais e ver o que acontece,

l i m x → 0 + f x = l i m x → 0 + x + 1     x 3 = 0 + 1     0 3 = 1 0 3 = 1 0 = ∞

E,

l i m x → 0 - f x = l i m x → 0 - x + 1     x 3 = 0 + 1     0 3 = 1 0 3 = 1 0 = - ∞

Isso acontece pois quando x → 0 - estamos lidando com números negativos, que a depender da proximidade do zero serão menores que 1 ocasionando assim, que o numerador seja positivo. Como a raiz cúbica de um número negativo é sempre negativa, teremos pela regra sinal que o resultado final desse limite será negativo.

Com isso, f ( x ) possui uma assíntota vertical em x = 0 .

Resposta

f ( x ) possui uma assíntota vertical em x = 0 .

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Ache o limite lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2
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Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele: f x = 2 x - 4