Enunciado

Faça gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar gráficos de f '   e   f ' ' para estivar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f x = x 4 - x 3 - 8 x 2 - x - 6

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = x 4 - x 3 - 8 x 2 - x - 6

As raízes reais da função são:

f x = 0 → x = 2 ;     x ≈ - 1,48

Temos que checar as assíntotas verticais, que ocorrem quando o denominador vale zero:

x 2 - x - 6 = 0

x = - 2 ;     x = 3

Como podemos ver no gráfico:

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = ∞

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = ∞

lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = - ∞

Passo 2

Agora vamos para a primeira derivada:

f ' x = 2 ( x 5 - 2 x 4 - 11 x 3 + 9 x 2 + 8 x - 4 ) x 2 - x - 6 2

Dando um ZOOM próximo ao zero:

As raízes reais de f ' ( x ) são: x ≈ - 2,75 ;         x ≈ - 0,807 ;           x ≈ 0,41 ;           x ≈ 1,08 ;         x ≈ 4,06

Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:

Crescente:

f ' x > 0 → 2 ( x 5 - 2 x 4 - 11 x 3 + 9 x 2 + 8 x - 4 ) x 2 - x - 6 2 > 0

f ' x > 0 → x ∈ - 2,75 ; - 0 , 807 ∪ ( 0,41 ; 1,08 ) ∪ 4,06 ; ∞

Decrescente:

f ' x < 0 → 2 ( x 5 - 2 x 4 - 11 x 3 + 9 x 2 + 8 x - 4 ) x 2 - x - 6 2 < 0

f ' x < 0 → x   ∈ ( - ∞ ; - 2,75 ) ∪ ( - 0 , 807 ; 0,41 ) ∪ 1,08 ; 4,06

Passo 3

Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = 2 x 6 - 3 x 5 - 15 x 4 + 4 1 x 3 + 174 x 2 - 8 4 x - 56 x 2 - x - 6 3

Suas raizes valem: x ≈ - 0,39 ;           x ≈ 0,79 ;      

Plotando o gráfico, temos:

Checando então nas raízes de f ' x : x ≈ - 2,75 ;         x ≈ - 0,807 ;           x ≈ 0,41 ;           x ≈ 1,08 ;         x ≈ 4,06

x ≈ - 2,75 → f ' ' - 2,75 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o    

      x ≈ - 0 , 807 → f ' ' - 0,94 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 0,41 → f ' ' 0,41 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o    

    x ≈ 1,08 → f ' ' 1,08 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 4,06 → f ' ' 4,06 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o    

Passo 4

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes e as assíntotas podem ajudar a identificar:

2 x 6 - 3 x 5 - 15 x 4 + 41 x 3 + 174 x 2 - 84 x - 56 x 2 - x - 6 3

Suas raizes valem: x ≈ - 0,39 ;           x ≈ 0,79 ;

Analisando os intervalos:

f ' ' x > 0 → x   ∈ - ∞ ; - 2 ∪ - 0,39 ; 0,79 ∪ ( 3 ; ∞ )

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 2 ; - 0,39   ∪ ( 0,79 ; 3 )

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ ; - 2 ∪ - 0,39 ; 0,79 ∪ ( 3 ; ∞ )

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 2 ; - 0,39   ∪ ( 0,79 ; 3 )  

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   x ≈ - 0,39 ;           x ≈ 0,79 ;  

Agora vamos ver novamente o gráfico de f(x) para confirmar todos os valores encontrados:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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