Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 4
Faça gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar gráficos de para estivar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:
As raízes reais da função são:
Temos que checar as assíntotas verticais, que ocorrem quando o denominador vale zero:
Como podemos ver no gráfico:
Passo 2
Agora vamos para a primeira derivada:
Dando um ZOOM próximo ao zero:
As raízes reais de são:
Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:
Crescente:
Decrescente:
Passo 3
Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de e avaliar se há troca de sinal de Ou então avaliar o sinal da segunda derivada nas raízes de
Vamos então calcular a segunda derivada de
Suas raizes valem:
Plotando o gráfico, temos:
Checando então nas raízes de
Passo 4
Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.
Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.
Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes e as assíntotas podem ajudar a identificar:
Suas raizes valem:
Analisando os intervalos:
Logo, os intervalos são:
Agora vamos ver novamente o gráfico de f(x) para confirmar todos os valores encontrados:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)