Enunciado

Descreva como o gráfico de f varia de acordo com a variação de c. Faça vários gráficos da família para ilustrar as tendências que você encontrou. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximos e mínimos e os pontos de inflexão se movem quando c muda. Você também deve identificar valores de transição para c no qual a forma básica da curva muda.

f x = x 2 + 6 x + c x

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = x 2 + 6 x + c x

f ' x = 2 x + 6 - c x 2

f ' ' x = 2 + 2 c x 3

Primeiro, vamos plotar os gráficos para valores positivos de c. Depois, vamos para os valores negativos.

Passo 2

Agora vamos analisar o comportamento:

c = 0 → O gráfico é a parábola x 2 + 6 x , que intercepta o eixo x em -6 e em 0. Sua concavidade é para cima e seu ponto de mínimo é -9.

c ≠ 0 → A parábola agora possui assíntotas quando x → 0 , valendo - ∞ pela esquerda e + ∞ pela direita.

c < 0 →   Os pontos de interceptação são encontrados quando f x = 0 , variando conforme c aumenta. Por exemplo, para c = - 15 , as duas interceptações da função no lado negativo fica entre (-6,2) e quando c = - 34 existe apenas uma interceptação. Isto é, esta parte do gráfico parece estar se deslocando para cima. Do lado positivo, a interceptação aumenta o valor de x com a redução de c.

Vamos às derivadas:

f ' x = 2 x + 6 - c x 2 = 2 x 3 + 6 x 2 - c x 2 → E x i s t e   a p e n a s   u m a   r a i z   n e g a t i v a   q u a n d o   c < 0

Isto quer dizer que só vai existir 1 ponto de mínimo quando x < 0 , com concavidade para cima, conforme mostra o gráfico. Para x > 0 , não existe ponto de máximo ou mínimo.

f ' ' x = 2 + 2 c x 3 = 2 x 3 + 2 c x 3 → P o n t o   d e   i n f l e x ã o   q u a n d o   x = - c 3

A partir destas derivadas e do gráfico, vemos que a concavidade quando x < 0   é para cima apenas. Quando x > 0 temos duas condições devido ao ponto de inflexão:

Concavidade para baixo no intervalo 0 , - c 3 e para cima em - c 3 , ∞ . Lembrando que c é negativo neste caso.

c > 0 →   Existe apenas um ponto de interceptação quando f x = 0 , variando conforme c aumenta. Este ponto tende a se afastar para a esquerda conforme o crescimento de c.

f ' x = 2 x + 6 - c x 2 = 2 x 3 + 6 x 2 - c x 2

Quando x > 0 , temos um ponto de mínimo, que aumenta de valor conforme c aumenta. Isto faz com que o gráfico “ande para cima” de acordo com c. De forma parecida ocorre quando x < 0 , mas o gráfico anda para baixo e perde acentuação no ponto de máximo.

f ' ' x = 2 + 2 c x 3 = 2 x 3 + 2 c x 3

O ponto de inflexão se localiza em x = - c 3 , mas como c é positivo, então ele se localiza na esquerda do eixo y, como visto no gráfico.

As concavidades então ficam: para cima quando x = - ∞ , - c 3   e   0 , ∞ .   Para baixo quando x = - c 3 , 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 - x
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2
A figura mostra os gráficos de f ,f ' ,f ' ' ef ' ' ' . Identifique cada curva e explique suas escolhas.
Use a definição de derivada para encontrar f ' x e f ' ' x . A seguir, trace f ,f 'ef ' ' em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis. f x = 1 / x