Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 29
Descreva como o gráfico de varia de acordo com a variação de c. Faça vários gráficos da família para ilustrar as tendências que você encontrou. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximos e mínimos e os pontos de inflexão se movem quando c muda. Você também deve identificar valores de transição para c no qual a forma básica da curva muda.
Passo 1
Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:
Primeiro, vamos plotar os gráficos para valores positivos de c. Depois, vamos para os valores negativos.
Passo 2
Agora vamos analisar o comportamento:
O gráfico é a parábola , que intercepta o eixo x em -6 e em 0. Sua concavidade é para cima e seu ponto de mínimo é -9.
A parábola agora possui assíntotas quando , valendo pela esquerda e pela direita.
Os pontos de interceptação são encontrados quando , variando conforme c aumenta. Por exemplo, para , as duas interceptações da função no lado negativo fica entre (-6,2) e quando existe apenas uma interceptação. Isto é, esta parte do gráfico parece estar se deslocando para cima. Do lado positivo, a interceptação aumenta o valor de x com a redução de c.
Vamos às derivadas:
Isto quer dizer que só vai existir 1 ponto de mínimo quando , com concavidade para cima, conforme mostra o gráfico. Para , não existe ponto de máximo ou mínimo.
A partir destas derivadas e do gráfico, vemos que a concavidade quando é para cima apenas. Quando temos duas condições devido ao ponto de inflexão:
Concavidade para baixo no intervalo e para cima em Lembrando que c é negativo neste caso.
Existe apenas um ponto de interceptação quando , variando conforme c aumenta. Este ponto tende a se afastar para a esquerda conforme o crescimento de c.
Quando , temos um ponto de mínimo, que aumenta de valor conforme c aumenta. Isto faz com que o gráfico “ande para cima” de acordo com c. De forma parecida ocorre quando , mas o gráfico anda para baixo e perde acentuação no ponto de máximo.
O ponto de inflexão se localiza em , mas como c é positivo, então ele se localiza na esquerda do eixo y, como visto no gráfico.
As concavidades então ficam: para cima quando Para baixo quando
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)