Enunciado

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = ln ⁡ ( x 2 + 4 y 2 )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, pra fazer as curvas de nível nós projetamos nossa função no plano, fazendo assim:

ln ⁡ ( x 2 + 4 y 2 ) = k

Sendo o k uma constante qualquer.

Pra a gente saber que tipo de figura vai formar, vamos tirar esse l n daí, jogando uma exponencial dos dois lados.

Mas calma, é de boa, vem comigo!

Passo 2

Vamos pegar nossa equação ali de cima:

ln ⁡ ( x 2 + 4 y 2 ) = k

E fazer isso aqui:

e ln ⁡ x 2 + 4 y 2 = e k

Como a gente já sabe, e ln ⁡ x   = x , então aqui, a gente tem:

x 2 + 4 y 2 = e k

Que ainda podemos escrever assim:

x 2 e k + 4 y 2 e k = 1

x 2 e k + y 2 e k / 4 = 1

Lembra dessa equação? É uma elipse, certo?

Passo 3

O centro da elipse é na origem, ( 0,0 ) , e os eixos variam de acordo com o valor de k .

Então se k = 0 , por exemplo, temos a elipse:

x 2 e 0 + y 2 e 0 / 4 = 1 → x 2 1 + y 2 1 / 4 = 1

Que tem eixos medindo   a medindo 1 e eixo b medindo 1 2 .

Então as curvas de níveis vão ser uma família de elipses concêntricas, com eixos dependendo de k .

Vou fazer aqui com k = - 2 ,   k = - 1 ,   k = 0 ,   k = 1   e   k = 2 (estão nessa ordem)

E tá aí o nosso mapa de contorno! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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