Enunciado

Calcule.

int (x + 2)/(x^3 + 2 x^2 + 5 x) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

int (x + 2)/(x^3 + 2 x^2 + 5 x) d x = int (x + 2)/(x (x^2 + 2 x + 5)) d x

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos com um fator irredutível do 2 º grau, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x + 2)/(x (x^2 + 2 x + 5)) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 2 x + 5)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x^2 + 2 x + 5) :

((x + 2) x (x^2 + 2 x + 5))/(x (x^2 + 2 x + 5)) = (A x (x^2 + 2 x + 5))/(x) + ((B x + C) x (x^2 + 2 x + 5))/(x^2 + 2 x + 5) ->

-> x + 2 = A (x^2 + 2 x + 5) + (B x + C) x

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 2 = A (x^2 + 2 x + 5) + (B x + C) x

x + 2 = A x^2 + 2 A x + 5 A + B x^2 + C x

x + 2 = x^2 (A + B) + x (2 A + C) + (5 A)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[2 A + C = 1],[5 A = 2]]) -> {C [[B = - (2)/(5)],[= (1)/(5)],[A = (2)/(5)]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x + 2)/(x (x^2 + 2 x + 5)) d x = int ((2)/(5))/(x) + (- (2)/(5) x + (1)/(5))/(x^2 + 2 x + 5) d x =

= int (2)/(5 x) + (- 2 x + 1)/(5 (x^2 + 2 x + 5)) d x = int (2)/(5 x) d x + int (- 2 x + 1)/(5 (x^2 + 2 x + 5)) d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (2)/(5 x) d x = (2)/(5) int (1)/(x) d x = (2)/(5) ln |x| + C

Passo 4

Com a segunda vamos manipular um pouco a expressão, completando quadrado no denominador:

int (- 2 x + 1)/(5 (x^2 + 2 x + 5)) d x = int (- 2 x + 1)/(5 (x^2 + 2 x + 1 + 4)) d x = int (- 2 x + 1)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x = int (- 2 x)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) + (1)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x = int (- 2 x)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x + int (1)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x

Vamos usar a Regra da Substituição na primeira:

v = x + 1 -> x = v - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (- 2 x)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x = int (- 2 (v - 1))/(5 (v^2 + 4)) d v = - (2)/(5) int (v - 1)/(v^2 + 4) d v = - (2)/(5) int (v)/(v^2 + 4) - (1)/(v^2 + 4) d v = - (2)/(5) int (v)/(v^2 + 4) d v + (2)/(5) int (1)/(v^2 + 4) d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 5

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v^2 + 4

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

- (2)/(5) int (v)/(v^2 + 4) d v = - (2)/(5) int (1)/(2 t) d t = - (1)/(5) int (1)/(t) d t

Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(5) int (1)/(t) d t = - (1)/(5) ln |t| + C

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + a^2) d x = (1)/(a) arctg ((x)/(a)) + C

Aplicando:

(2)/(5) int (1)/(v^2 + 4) d v = (2)/(5) * (1)/(2) * arctg ((v)/(2)) + C = (1)/(5) arctg ((v)/(2)) + C

Passo 6

Agora para calcular:

int (1)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x + 1 -> x = r - 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x = int (1)/(5 (r^2 + 4)) d r = (1)/(5) int (1)/(r^2 + 4) d r

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + a^2) d x = (1)/(a) arctg ((x)/(a)) + C

Aplicando:

(1)/(5) int (1)/(r^2 + 4) d r = (1)/(5) * (1)/(2) * arctg ((r)/(2)) + C = (1)/(10) arctg ((r)/(2)) + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (x + 2)/(x^3 + 2 x^2 + 5 x) d x = int (2)/(5 x) d x + int (- 2 x + 1)/(5 (x^2 + 2 x + 5)) d x = (2)/(5) ln |x| + int (- 2 x)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x + int (- 1)/(5 ((x + 1)^2 + 4)) d x = (2)/(5) ln |x| - (1)/(5) ln |t| (1)/(5) arctg ((v)/(2)) + (1)/(10) arctg ((r)/(2)) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x + 2)/(x^3 + 2 x^2 + 5 x) d x = (2)/(5) ln |x| - (1)/(5) ln |t| + (1)/(5) arctg ((v)/(2)) + (1)/(10) arctg ((r)/(2)) + C = (2)/(5) ln |x| - (1)/(5) ln |v^2 + 4| + (1)/(5) arctg ((x + 1)/(2)) + (1)/(10) arctg ((x + 1)/(2)) + C = (2)/(5) ln |x| - (1)/(5) ln |(x + 1)^2 + 4| + (1)/(5) arctg ((x + 1)/(2)) + (1)/(10) arctg ((x + 1)/(2)) + C

Resposta

int (x + 2)/(x^3 + 2 x^2 + 5 x) d x = (2)/(5) ln |x| - (1)/(5) ln |(x + 1)^2 + 4| + (1)/(5) arctg ((x + 1)/(2)) + (1)/(10) arctg ((x + 1)/(2)) + C

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