Calcule.

∫ x + 2 x 3 + 2 x 2 + 5 x d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

∫ x + 2 x 3 + 2 x 2 + 5 x d x = ∫ x + 2 x x 2 + 2 x + 5 d x

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos com um fator irredutível do 2 º grau, vamos então usar a seguinte fórmula:

x + 2 x x 2 + 2 x + 5 = A x + B x + C x 2 + 2 x + 5

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x 2 + 2 x + 5 :

x + 2 x x 2 + 2 x + 5 x x 2 + 2 x + 5 = A x x 2 + 2 x + 5 x + B x + C x x 2 + 2 x + 5 x 2 + 2 x + 5 →

→ x + 2 = A x 2 + 2 x + 5 + B x + C x

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 2 = A x 2 + 2 x + 5 + B x + C x

x + 2 = A x 2 + 2 A x + 5 A + B x 2 + C x

x + 2 = x 2 A + B + x 2 A + C + 5 A

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 2 A + C = 1 5 A = 2 → C B = - 2 5 = 1 5 A = 2 5

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x + 2 x x 2 + 2 x + 5 d x = ∫ 2 5 x + - 2 5 x + 1 5 x 2 + 2 x + 5 d x =

= ∫ 2 5 x + - 2 x + 1 5 x 2 + 2 x + 5 d x = ∫ 2 5 x d x + ∫ - 2 x + 1 5 x 2 + 2 x + 5 d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 5 x d x = 2 5 ∫ 1 x d x = 2 5 ln ⁡ x + C

Passo 4

Com a segunda vamos manipular um pouco a expressão, completando quadrado no denominador:

∫ - 2 x + 1 5 x 2 + 2 x + 5 d x = ∫ - 2 x + 1 5 x 2 + 2 x + 1 + 4 d x = ∫ - 2 x + 1 5 x + 1 2 + 4 d x = ∫ - 2 x 5 x + 1 2 + 4 + 1 5 x + 1 2 + 4 d x = ∫ - 2 x 5 x + 1 2 + 4 d x + ∫ 1 5 x + 1 2 + 4 d x

Vamos usar a Regra da Substituição na primeira:

v = x + 1 → x = v - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 x 5 x + 1 2 + 4 d x = ∫ - 2 v - 1 5 v 2 + 4 d v = - 2 5 ∫ v - 1 v 2 + 4 d v = - 2 5 ∫ v v 2 + 4 - 1 v 2 + 4 d v = - 2 5 ∫ v v 2 + 4 d v + 2 5 ∫ 1 v 2 + 4 d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 5

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v 2 + 4

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

- 2 5 ∫ v v 2 + 4 d v = - 2 5 ∫ 1 2 t d t = - 1 5 ∫ 1 t d t

Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 5 ∫ 1 t d t = - 1 5 ln ⁡ t + C

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctg ⁡ x a + C

Aplicando:

2 5 ∫ 1 v 2 + 4 d v = 2 5 ⋅ 1 2 ⋅ arctg ⁡ v 2 + C = 1 5 arctg ⁡ v 2 + C

Passo 6

Agora para calcular:

∫ 1 5 x + 1 2 + 4 d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x + 1 → x = r - 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 5 x + 1 2 + 4 d x = ∫ 1 5 r 2 + 4 d r = 1 5 ∫ 1 r 2 + 4 d r

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctg ⁡ x a + C

Aplicando:

1 5 ∫ 1 r 2 + 4 d r = 1 5 ⋅ 1 2 ⋅ arctg ⁡ r 2 + C = 1 10 arctg ⁡ r 2 + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ x + 2 x 3 + 2 x 2 + 5 x d x = ∫ 2 5 x d x + ∫ - 2 x + 1 5 x 2 + 2 x + 5 d x = 2 5 ln ⁡ x + ∫ - 2 x 5 x + 1 2 + 4 d x + ∫ - 1 5 x + 1 2 + 4 d x = 2 5 ln ⁡ x - 1 5 ln ⁡ t 1 5 arctg ⁡ v 2 + 1 10 arctg ⁡ r 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x + 2 x 3 + 2 x 2 + 5 x d x = 2 5 ln ⁡ x - 1 5 ln ⁡ t + 1 5 arctg ⁡ v 2 + 1 10 arctg ⁡ r 2 + C = 2 5 ln ⁡ x - 1 5 ln ⁡ v 2 + 4 + 1 5 arctg ⁡ x + 1 2 + 1 10 arctg ⁡ x + 1 2 + C = 2 5 ln ⁡ x - 1 5 ln ⁡ x + 1 2 + 4 + 1 5 arctg ⁡ x + 1 2 + 1 10 arctg ⁡ x + 1 2 + C

Resposta

∫ x + 2 x 3 + 2 x 2 + 5 x d x = 2 5 ln ⁡ x - 1 5 ln ⁡ x + 1 2 + 4 + 1 5 arctg ⁡ x + 1 2 + 1 10 arctg ⁡ x + 1 2 + C

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