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Uma faixa elástica é pendurada em um gancho e um corpo está preso na extremidade inferior da faixa. Quando o corpo é puxado na extremidade inferior da faixa. Quando o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do movimento é s = 2 cos ⁡ t + 3 sen ⁡ t , t ≥ 0 , onde s é medido em centímetros e t , em segundos. (Consideramos o sentido positivo como para baixo.)

(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t .

(b) Faça os gráficos das funções velocidade e aceleração.

(c) Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez?

(d) A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega?

(e) Quando a velocidade é máxima?

Passo 1

Item a:

A velocidade v é a taxa com que se varia a posição da partícula ( s ) em um dado momento, ou seja, a derivada da posição, e do mesmo modo a aceleração a é a derivada de velocidade. Então:

v ( t ) = d d t s t = d d t 2 cos ⁡ t + 3 sen ⁡ t

v t = - 2 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t

a t = d v d t = d d t - 2 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t

a t = - 2 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t

Passo 2

Item b:

Temos o gráfico:

Passo 3

Item c:

A posição de equilíbrio, é quando a velocidade é nula, ou seja:

v t = 0

- 2 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t = 0

2 sen ⁡ t = 3 cos ⁡ t

sen ⁡ t = 3 2 cos ⁡ t

sen 2 ⁡ t = 9 4 cos 2 ⁡ t

1 - cos 2 ⁡ t = 9 4 cos 2 ⁡ t

1 = 9 4 cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

cos 2 ⁡ t = 4 13

cos ⁡ t = 2 13 13

t ≈ 0,9828   s e g u n d o s

Passo 4

Item d:

Basta achar o s quando cos ⁡ t = 2 13 13 que corresponde ao momento em que atinge a posição de equilíbrio:

s = 2 cos ⁡ t + 3 sen ⁡ t

s = 2 2 13 13 + 3 1 - 4 13

s = 4 13 13 + 9 13 13

s = 13   c e n t í m e t r o s

Passo 5

Item e:

A velocidade é máxima, quando a aceleração é nula, logo:

a t = 0

- 2 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t = 0

2 cos ⁡ t cos ⁡ t = 3 sen ⁡ t cos ⁡ t

tg ⁡ t = 2 3

t ≈ 0,588   s e g u n d o s

Resposta

(a)   v t = - 2 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t e a t = - 2 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t

(c) t ≈ 0,9828   s e g u n d o s

(d) s = 13   c e n t í m e t r o s

(e) t ≈ 0,588   s e g u n d o s

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