Enunciado

Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira. Quando o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do movimento é s = 2 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t ,   t ≥ 0 , onde s é medido em centímetros e t , em segundos. (Consideremos o sentido positivo como para baixo.)

  1. Encontre a velocidade e a aceleração no tempo t .
  2. Faça os gráficos das funções velocidade e aceleração.
  3. Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez?
  4. A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega?
  5. Quando a velocidade é máxima?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Seguinte... o enunciado nos dá a seguinte função que representa o movimento oscilatório de uma massa:

s = 2 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t ,   t ≥ 0

Onde s é medido em centímetros e t , em segundos.

A princípio, queremos encontrar a velocidade v e a aceleração a no tempo t .

Para isso, deveremos derivar s t duas vezes pois a velocidade é a derivada da posição em função do tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo.

Com esses resultados deveremos responder outras perguntinhas que vou te mostrar mais adiante, certinho??

Vamos lá! 😉

Passo 2

Derivando s t para encontrar v t , temos:

v t = d d t s t

v t = d d t 2 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t

Aplicando a derivada da soma:

v t = d d t 2 cos ⁡ t + d d t 3 sin ⁡ t

Aplicando a derivada do seno e do cosseno, temos:

v t = - 2 sin ⁡ t + 3 cos ⁡ t

Passo 3

Derivando v t para encontrar a equação da aceleração a t , temos:

a t = d d t v t ∴

a t = d d t - 2 sin ⁡ t + 3 cos ⁡ t

Aplicando a regra da soma:

a t = d d t - 2 sin ⁡ t + d d t 3 cos ⁡ t

Aplicando a derivada do seno e do cosseno, temos:

a t = - 2 cos ⁡ t - 3 sin ⁡ t

Passo 4

Plotando o gráfico da velocidade em função do tempo, temos:

Plotando o gráfico da aceleração em função do tempo, temos:

Passo 5

O corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez quando s = 0 , portanto:

s t = 2 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t ∴

2 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t = 0 ∴

3 sin ⁡ t = - 2 cos ⁡ t ∴

sin ⁡ t cos ⁡ t = - 2 3 ∴

tan ⁡ t = - 2 3 ∴

t = tan - 1 ⁡ - 2 3 ∴

t ≈ 2,55 segundos

Passo 6

A maior distância da posição de equilíbrio que o corpo chega ocorre quando v = 0 .

Assim, vamos primeiro descobrir o tempo em que isso ocorre:

v t = - 2 sin ⁡ t + 3 cos ⁡ t ∴

- 2 sin ⁡ t + 3 cos ⁡ t = 0 ∴

2 sin ⁡ t = 3 cos ⁡ t ∴

sin ⁡ t cos ⁡ t = 3 2 ∴

tan ⁡ t = 3 2 ∴

t = tan - 1 ⁡ 3 2 ∴

t ≈ 0,98 segundos

Assim, substituindo esse valor na equação da posição, iremos encontrar:

s t = 2 cos ⁡ 0,98 + 3 sin ⁡ 0,98 ∴

s t = 3,61 cm

Passo 7

A velocidade será máxima ( v m á x ) quando o corpo passar pela posição inicial, logo:

v m á x = s t = 0

Logo, como vimos no Passo 5, o corpo irá passar pela posição inicial em:

t = tan - 1 ⁡ - 2 3 ∴

t = 2,55 + n π

Onde n é um inteiro positivo.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. v t = - 2 sin ⁡ t + 3 cos ⁡ t e a t = - 2 cos ⁡ t - 3 sin ⁡ t ;
  2. t ≈ 2,55
  3. s t = 3,61
  4. t = 2,55 + n π
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Seja f x = x 5 . Calculea) f ' x b) f ' 0 c) f ' 2
Determine a reta que é tangente ao gráfico de f x = x 2 e paralela à reta y = 4 x + 2 .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = 1 x no ponto de abscissa 2 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Seja f x = x 5 . Calcule.a) f ' x b) f ' 1 c) f ' - 32
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x 9