Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 36
Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira. Quando o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do movimento é , onde é medido em centímetros e , em segundos. (Consideremos o sentido positivo como para baixo.)
- Encontre a velocidade e a aceleração no tempo .
- Faça os gráficos das funções velocidade e aceleração.
- Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez?
- A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega?
- Quando a velocidade é máxima?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Seguinte... o enunciado nos dá a seguinte função que representa o movimento oscilatório de uma massa:
Onde é medido em centímetros e , em segundos.
A princípio, queremos encontrar a velocidade e a aceleração no tempo .
Para isso, deveremos derivar duas vezes pois a velocidade é a derivada da posição em função do tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo.
Com esses resultados deveremos responder outras perguntinhas que vou te mostrar mais adiante, certinho??
Vamos lá! 😉
Passo 2
Derivando para encontrar , temos:
Aplicando a derivada da soma:
Aplicando a derivada do seno e do cosseno, temos:
Passo 3
Derivando para encontrar a equação da aceleração , temos:
Aplicando a regra da soma:
Aplicando a derivada do seno e do cosseno, temos:
Passo 4
Plotando o gráfico da velocidade em função do tempo, temos:
Plotando o gráfico da aceleração em função do tempo, temos:
Passo 5
O corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez quando , portanto:
segundos
Passo 6
A maior distância da posição de equilíbrio que o corpo chega ocorre quando .
Assim, vamos primeiro descobrir o tempo em que isso ocorre:
segundos
Assim, substituindo esse valor na equação da posição, iremos encontrar:
cm
Passo 7
A velocidade será máxima () quando o corpo passar pela posição inicial, logo:
Logo, como vimos no Passo 5, o corpo irá passar pela posição inicial em:
Onde é um inteiro positivo.
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
- e ;