Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

C x = x 1 3 x + 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui, dado uma função, iremos encontrar os pontos pedidos.

Passo 2

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.

Portanto, para avaliar os intervalos onde C é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

C ' x = x + 4 3 x 2 3 + x 1 3

Estudando o sinal de C ' temos que

C ' x > 0 se x > - 1 e C ' x < 0 se x < - 1

C é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , - 1 e crescente no intervalo ( - 1 , ∞ ) .

Passo 3

Item b:

Aqui iremos utilizar o teste da primeira derivada.

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

C ' x = 0

x + 4 3 x 2 3 + x 1 3 = 0

x + 4 3 x 2 3 = - x 1 3

x + 4 = - 3 x

x = - 1

Como C decresce até x = - 1 e cresce a partir dele, x = - 1 é ponto de mínimo local.

Passo 4

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda.

Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

C ' ' x = 4 x - 8 9 x 5 3

Estudando o sinal de B ' ' temos que 4 x - 8 9 x 5 3 é sempre positivo para valores antes de zero e ou maiores que 2 e é negativo para valores entre zero e 2 .

Então B possui concavidade voltada para cima nos intervalos - ∞ , 0 e 2 , ∞ e concavidade para baixo no intervalo 0,2 .

Passo 5

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) C é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , - 1 e crescente no intervalo ( - 1 , ∞ ) .

(b) x = - 1 é ponto de mínimo local.

(c) B possui concavidade voltada para cima nos intervalos - ∞ , 0 e 2 , ∞ e concavidade para baixo no intervalo 0,2 .

(d)

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A figura a seguir mostra uma parte do gráfico de uma função duas vezes derivável y = f ( x ) . Em cada um dos cinco pontos marcados, classifique y ' e y ' ' como positiva, negativa ou nula.
Esboce o gráfico da função racional: y = 8 x 2 + 4
Esboce o gráfico da função racional: y = x x 2 - 1
Esboce o gráfico da função duas vezes derivável y = f ( x ) com as seguintes propriedades. Quando possível, indique as coordenadas.
Esboce uma curva contínua y = f ( x ) com: f - 2 = 8 f ' 2 = f ' - 2 = 0 f 0 = 4 f ' x0 para x2 f 2 = 0 f ' ' x0 para x0 f ' x0 para x2 f ' ' x0 para x0