Enunciado

A faixa sombreada da figura a seguir foi cortada de uma esfera de raio R por planos paralelos separados por h unidades. Demonstre que a área de superfície da faixa é de 2 π R h .

Passo 1

Para essa questão podemos calcular a área da curva y = R 2 - x 2 (equação do círculo) em torno do eixo x , considerando os limites de integração como a   e   a + h , considerando a ∈ I R , e assim dois pontos separados por h unidades. A área da superfície gerada ao rotacionar a curva em torno do eixo x é dada por:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ a a + h 2 π R 2 - x 2   1 + - x R 2 - x 2 2 d x =  

=   2 π ∫ a a + h R 2 - x 2   R 2 - x 2 + x 2 R 2 - x 2   d x = 2 π ∫ a a + h R   d x = 2 π R x a + h a =

= 2 π R a + h - a = 2 π R h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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