Enunciado

Para x = y + 2 y ,     1 ≤ y ≤ 2 ;   eixo y :

a) Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.

b) Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça também o gráfico da superfície .

c) Use seu program gráfico ou programa para calcular integrais e determine a área da superfície numericamente.

Passo 1

a) Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Onde

g y = y + 2 y

Então

g ' y = 1 + 1 y

Assim, temos que:

S = ∫ 1 2 2 π   ( y + 2 y ) 1 + 1 + 1 y 2 d y = 2 π ∫ 1 2 y + 2 y 1 + 1 + 1 y 2   d y

Passo 2

b) Você pode utilizar a calculadora gráfica do Symbolab ou o GeoGebra.

Passo 3

c) Você pode utilizar o WolframAlpha ou o Symbolab. Obtém-se que S ≈ 56,557 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A fórmula 4 é válida somente quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f ( x ) não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície se torna: ∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x
(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 5 . x = y + y 3 ,0 ≤ y ≤ 1
(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 6 .y = tan - 1 ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 11 .y = cos ⁡ 1 2 x ,0 ≤ x ≤ π
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 9 .y 2 = x + 1 ,0 ≤ x ≤ 3