Enunciado

Os fatores funcionais de f(x) na tabela a seguir foram obtidos experimentalmente com a hipótese de que f é contínua em [1,3] , aproxime ∫ 1 3 f x d x pela (a) regra do trapézio e (b) regra de Simpson.

Passo 1

O que o enunciado nos pede é para utilizarmos uma regra já definida anteriormente na resolução de uma integral. A regra do trapézio definida no Teorema 5.10.1 nos diz que se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b] e os números a = x0, x1, x2,..., xn=b formarem uma partição regular de [a,b] , então:

∫ a b f x d x   ≈ b - a 2 n [ f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n ]  

Ele também nos pede para utilizarmos uma outra regra já definida anteriormente na resolução de uma integral. A regra de Simpson definida no Teorema 5.10.4 nos diz que se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], n for um inteiro par e os números a = x0, x1, x2,..., xn=b formarem uma partição regular de [a,b] , então:

∫ a b f x d x   ≈ b - a 3 n [ f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ]  

Passo 2

Letra (a)

Utilizando a regra do trapézio, vem:

[a,b] = [1 ,3] e n =11

∆ x = 3 - 1 11 = 0,2

∫ 1 3 f ( x ) d x ≈ 3 - 1 2.11 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + 2 f x 3 + 2 f x 4 + 2 f x 5 + 2 f x 6 + 2 f x 7 + 2 f x 8 + 2 f x 9 + 2 f x 10 + f x 11    

≈   1 11 5,2 + 2 5,7 + 2 5,8 + 2 6,3 + 2 6,1 + 2 6,4 + 2 6,0 + 2 6,5 + 2 6,8 + 2 6,7 + 6,4 ≈ 11,290

Passo 3

Letra (b)

Utilizando a regra de Simpson , vem:

[a,b] = [1 ,3] e n =11

∆ x = 3 - 1 11 = 0,2

∫ 1 3 f ( x ) d x ≈ 3 - 1 3.11 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + 2 f x 6 + 4 f x 7 + 2 f x 8 + 4 f x 9 + 2 f x 10 + f x 11    

≈   2 33 5,2 + 4 5,7 + 2 5,8 + 4 6,3 + 2 6,1 + 4 6,4 + 2 6,0 + 4 6,5 + 2 6,8 + 4 6,7 + 6,4 ≈ 11,358

Resposta

(a)

∫ 1 3 f x d x =   11,290

(b) ∫ 1 3 f x d x =   11,358

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