Enunciado

13. Uma ferramenta importante em pesquisa arqueológica é a datação por carbono radioativo,desenvolvida pelo químico americano Willard F. Libby.3 Essa é uma ferramenta paradeterminar a idade de determinados resíduos de madeira e plantas, e, portanto, de ossos deanimais ou homens, ou artefatos encontrados enterrados nos mesmos níveis. A datação porcarbono radioativo baseia-se no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contêmquantidades residuais de carbono-14, um isótopo radioativo do carbono. Esse isótopo seacumula durante a vida da planta e começa a decair na sua morte. Como a meia-vida docarbono-14 é longa (aproximadamente 5.730 anos4), quantidades mensuráveis de carbono-14permanecem depois de muitos milhares de anos. Se mesmo uma fração mínima da quantidadeoriginal de carbono-14 ainda está presente, então, através de medidas apropriadas emlaboratório, pode-se determinar com precisão a proporção da quantidade original de carbono-14 que permanece. Em outras palavras, se Q(t) é a quantidade de carbono-14 no instante t e Q0é a quantidade original, então a razão Q(T)/Q0 pode ser determinada, pelo menos se essaquantidade não for pequena demais. Técnicas atuais de medida permitem o uso desse métodopor períodos de tempo de 50.000 anos ou mais.(a) Supondo que Q satisfaz a equação diferencial Q′ = –rQ, determine a constante dedecaimento r para o carbono-14.(b) Encontre uma expressão para Q(t) em qualquer instante t, se Q(0) = Q0.(c) Suponha que determinados restos foram descobertos nos quais a quantidade residual atualde carbono-14 é 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos.

Passo 1

  1. Vamos resolver essa equação diferencial

Q '   =   – r Q

d Q d t =   - r Q

1 Q d Q =   - r d t

ln ⁡ Q =   - r t + Q 0

Q =   e - r t + Q 0    

Como Q 0   é a nossa constante arbitratria, podemos manipular ela para que ela fique mais evidente na nossa equação

Q =   e - r t + Q 0   → e - r t e Q 0

Q = Q 0 e - r t

Com constantes arbitrarias podemos fazer esses truques. 😉

Passo 2

Vamos agora descobrir o valor de r   usando os dados de contorno do nosso problema

Q 5730   = Q 0 2

Ou seja, a cada 5730 nosso material perde metade da massa. Que é o conceito de meia – vida. Blz! Vamos cair dentro

Q = Q 0 e - r t

Q 0 2 = Q 0 e - 5730 r

e - 5730 r = 1 2

ln ⁡ e - 5730 r = ln ⁡ 1 2

- 5730 r = ln ⁡ 1 2

r = ln ⁡ 1 2 - 5730

r = 12 ⋅ 10 - 5

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

r = 12 ⋅ 10 - 5

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