Enunciado

(a) Fibonacci propôs o seguinte problema: suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com 2 meses de idade. Se começarmos com um par recém-nascido, quantos pares de coelhos teremos no n -ésimo mês? Mostre que a resposta é f n , onde f n é a sequência de Fibonacci definida no Exemplo 3 (c).

(b) Seja a n = f n + 1 f n e mostre que a n - 1 = 1 + 1 a n - 2 . Supondo que a n seja convergente, encontre seu limite.

Passo 1

(a) Fala, galera! Aqui a gente tem um problema sobre a reprodução de coelhos. Eles são bastante férteis, a cada mês cada par de coelhos adultos dá origem a mais um par, sendo que os coelhos demoram 2 meses pra chegarem à fase adulta e reproduzir. E aí queremos saber: quantos pares de coelhos teremos depois de n meses? Aqui tome cuidado, estamos falando em número de pares, não o número de indivíduos, beleza?

A resposta pra nossa pergunta o enunciado já deu, é o termo geral da sequência de Fibonacci:

f n = f n - 1 + f n - 2

Mas por que essa resposta?

Passo 2

Bom, se queremos saber quantos pares temos hoje, é só pegar o que já tínhamos no mês anterior, e acrescentar os novos pares de filhotes gerados nesse mês, certo?

Então, se estamos falando do mês n , o total neste mês ( f n ) é a soma do total no mês anterior ( f n - 1 ) e do total de pares gerados nesse mês. Mas quantos foram gerados?

Aí a gente lembra que cada par gera um novo par, então a gente deveria acrescentar f n - 1 ?

NÃO! Pois lembre-se, cada par demora 2 meses pra começar a reproduzir, então a gente tem que acrescentar f n - 2 , resultando em:

f n = f n - 1 + f n - 2

Passo 3

(b) Agora vamos usar a relação de Fibonacci para mostrar que a n - 1 = 1 + 1 a n - 2 , sendo a n = f n + 1 f n :

f n = f n - 1 + f n - 2

Que tal dividir tudo por f n - 1 ?

f n f n - 1 = 1 + f n - 2 f n - 1

Lembre-se que a n = f n + 1 f n

E se a gente trocar n por n - 1 , ou n por n - 2 , também teremos:

a n - 1 = f n f n - 1             e           a n - 2 = f n - 1 f n - 2

Então, voltando à equação:

f n f n - 1 = 1 + f n - 2 f n - 1

a n - 1 = 1 + 1 a n - 2

É isso aí!

Passo 4

Show! Agora, supondo que a n é convergente, vamos encontrar seu limite? Pra isso, vamos tomar o limite dos dois lados da equação mostrada no item anterior:

a n - 1 = 1 + 1 a n - 2

lim n → ∞ ⁡ a n - 1 = l i m n → ∞     1 + 1 a n - 2

l i m n → ∞   a n - 1 = 1 + 1 l i m n → ∞   a n - 2

Podemos usar o fato de que, quando a sequência converge, esses limites são iguais:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   a n - 1 = l i m n → ∞   a n - 2

l i m n → ∞   a n = 1 + 1 l i m n → ∞   a n

Pra facilitar a resolução dessa equação, vamos chamar o limite de L , beleza?

L = 1 + 1 L

L 2 = L + 1

L 2 - L - 1 = 0

L = 1 ± 5 2

Como o número de pares de coelho é sempre positivo, descartaremos a raiz negativa, então chegamos a:

l i m n → ∞   a n = 1 + 5 2

Show?

Resposta

l i m n → ∞   a n = 1 + 5 2

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(a) Seja a 1 = a , a 2 = f a , a 3 = f a 2 , . . . , a n + 1 = f a n , onde f é uma função contínua. Se l i m n → ∞a n = L , mostre que f L = L .(b) Ilustre a parte (a) tomando f x = cos ⁡ x , a = 1 ,