Enunciado

O cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação diferencial

d y d t = k y 1 - y K

onde y t é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no instante t (medido em anos), a capacidade de suporte é estimada como K = 8   .   10 7   k g , e k = 0,71 por ano.

(a) Se y 0 = 2   .   10 7   k g , calcule a biomassa um ano depois.

(b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4   .   10 7   k g ?

Passo 1

(a) E aí, pessoal? Estamos falando aqui sobre um cardume que foi modelado por uma equação diferencial logística, certo?

Então podemos recorrer à fórmula de y t para modelo logístico, que foi obtida ao se resolver a equação logística:

y t = K 1 + C e - k t     ,       C = K - y 0 y 0

Então:

C = 8   .   10 7 - 2   .   10 7 2   .   10 7 = 3

y t = 8   .   10 7 1 + 3   e - 0,71   t

Agora a gente pode calcular a biomassa um ano depois:

y 1 = 8   .   10 7 1 + 3   e - 0,71   .   1 ≈ 3,23   .   10 7   k g

Passo 2

(b) Se queremos saber o tempo, é só fazer y t = 4   .   10 7 , e isolarmos t na fórmula do item anterior:

4   .   10 7 = 8   .   10 7 1 + 3   e - 0,71   t

1 + 3   e - 0,71   t = 2

- 0,71   t = ln ⁡ 1 3

t ≈ 1,55   a n o s

Resposta

(a) y 1 ≈ 3,23   .   10 7   k g

(b) t ≈ 1,55   a n o s

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