Enunciado

Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura.

a n = 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 ) 2 n n

Passo 1

Pessoal, tudo certinho?? 😊

Assim como nas questões anteriores, nessa questão precisamos usar o gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Depois, se a sequência for convergente, conjecturarmos o valor do limite a partir do gráfico e então demonstrarmos sua conjectura. Beleza?

Então basicamente o que vamos fazer é:

  1. Antes de traçarmos o gráfico, vamos calcular alguns valores da sequência para diferentes valores de   n .
  2. Traçar o gráfico da função.
  3. Se a sequência parecer convergir através do gráfico, vamos calcular o limite da sequência para validar a hipótese que converge.

Então bora lá?!

Passo 2

Antes de traçarmos o gráfico, Vamos calcular alguns valores da sequência a n = 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 ) 2 n n

para diferentes valores de   n .

Vamos calcular a n ​ para n = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   5 .

Para n = 1 :

a 1 = 1   .   3   2 1 = 3 2

Para n = 2 :

a 2 = 1   .   3   .   5   2 2 = 15 4

Para n = 3 :

a 3 = 1   .   3   .   5   .   7   2 3 = 105 8

Para n = 4 :

a 4 = 1   .   3   .   5   .   7   .   9   2 4 = 945 16

Para n = 5 :

a 5 = 1   .   3   .   5   .   7   .   9   2 5 = 10395 32

Esses são alguns valores calculados da sequência para n = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   5 . Agora, podemos plotar esses pontos em um gráfico para observar o comportamento da sequência.

Passo 3

Ao traçar o gráfico dessa sequência, temos

Parece que nossa sequência converge pra 0 , né?

Passo 4

Pra confirmar nossa hipótese, vamos calcular o limite da sequência:

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   1   .   3   .   5 … 2 n - 1 2 n n

Mas como a gente resolve esse limite? Bom, vamos fazer tipo a regra do sanduíche à expressão

a n = 1   .   3   .   5 … 2 n - 1 2 n n

Primeiro, vamos observar que 0 ≤   1   .   3   .   5 … 2 n - 1 2 n n   para todo n .

Agora, vamos encontrar duas sequências, b n ​ e c n ​, tais que b n ≤ a n ≤ c n ​, e ambas convergem para o mesmo limite L   quando n tende ao infinito.

Uma escolha natural para b n ​ é 0 , já que a n ​ é sempre maior ou igual a zero. Para c n ​, podemos usar a expressão 1 2 n ​, que é uma sequência que sabemos que converge para zero porque os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de zero à medida que n cresce.

Assim, teremos

0 ≤   1   .   3   .   5 … 2 n - 1 2 n n ≤   1 2 n

Agora a gente toma o limite dessas expressões:

l i m n → ∞   0 ≤ l i m n → ∞   a n ≤ l i m n → ∞   1 2 n

Sabemos que lim n → ∞ ⁡ 0 = 0   e lim n → ∞ ⁡ 1 2 n = 0 .

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ a n ≤ 0

Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, a sequência a n ​ também converge para 0 à medida que n tende ao infinito. Então,

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Como previmos!

Resposta

Sequência convergente

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Liste os primeiros nove termos da sequência cos ⁡ n π 3 Essa sequência parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o. Em caso negativo, explique por quê.
(a) O que é uma sequência?(b) O que significa dizer que lim n → ∞ ⁡ a n = 8 ?(c) O que significa dizer que lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ ?
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 3 + 5 n 2 n + n 2
Para uma sequência { a n } os termos de índice par são denotados por a 2 k e os termos de índice ímpar por a 2 k + 1 . Prove que se a 2 k → L e a 2 k + 1 → L , então a n → L .
Quais teoremas estão disponíveis para calcular limites de sequência? Dê exemplos.