Enunciado

A figura abaixo mostra os gráficos de y = f ( x ) e de y = ∫ 0 x f ( t ) d t . Determine de qual função são os gráficos e explique seu raciocínio.

Passo 1

Cara, se uma função é a integral da outra, isso quer dizer que a outra é a derivada da uma, ou seja, y = f ( x ) é a derivada de y = ∫ 0 x f ( t ) d t . Se você não acredita em mim:

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

y = ∫ 0 x f ( t ) d t

y ' = f ( x )

Então, temos que achar qual a função no gráfico é a derivada.

Vamos supor que a I é a derivada da I I :

Quando a I I decresce (até x = 12 , mais ou menos), a I é negativa.

Em x = 12 , a I I teria que ter derivada zero, já que a I é zero.

A partir de x = 12 , a I I começa a crescer e a I fica positiva, como esperado da derivada da I I .

Como todas as nossas expectativas bateram, podemos concluir que a I é a derivada da I I . E, portanto, I é da y = f ( x ) e a I I é da y = ∫ 0 x f ( t ) d t .

Resposta

I é da y = f ( x ) e a I I é da y = ∫ 0 x f ( t ) d t .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o problema de valor inicial d y d x = 1 1 + x 2; y 0 = 2
Expresse as soluções dos exercícios em termos de integrais. d y d x = 2 - s e n 2 t; y - 1 = 2
Expresse as soluções dos exercícios em termos de integrais. d y d x =s e n x x; y - 5 = - 3
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 49-52 para y como uma função de x . x 2 + 4 d y d x = 3 ,y 2 = 0
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 49-52 para y como uma função de x . x 2 + 1 2 d y d x = x 2 + 1 ,y 0 = 1