Enunciado

Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x 2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x 2 e y 2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y 2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

20. O mesmo que o Exercício 19, mas os elementos retangulares são perpendiculares ao eixo de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos igual a questão 19, mas com elementos retangulares perpendiculares ao eixo de revolução que no caso é o eixo da reta x = - 2 .

A região R2 é a seguinte:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam perpendiculares ao eixo da reta x = - 2 de rotação, para satisfazer isso a melhor opção para usarmos é o método dos anéis circulares, então nosso anel circular estaria na horizontal e a espessura do anel é dy, então temos que:

d V = π ( R 2 - r 2 ) ⋅ d y

Onde R é o raio maior do anel e r é o raio menor.

Então como o d V depende de d y precisamos achar R e r como funções da forma f ( y ) .

Assim:

r = y 2 - - 2       R = y - ( - 2 )

Logo:

V = π ∫ 0 1 y + 2 2 - ( y 2 + 2 ) 2 d y

Os limites de integração são esses já que y varia de 0 a 1 na região R2 limitada.

Passo 2

Agora resolvendo a integral.

V = π ∫ 0 1 y + 2 2 - ( y 2 + 2 ) 2 d y

= π ∫ 0 1 y + 4 y + 4 - y 4 - 4 y 2 - 4 d y

= π ∫ 0 1 y   d y + 4 ∫ 0 1 y   d y - ∫ 0 1 y 4   d y - 4 ∫ 0 1 y 2   d y

= π y 2 2 0 1 + 4 2 3 y 3 2 0 1 - y 5 5 0 1 - 4 y 3 3 0 1

= π 1 2 1 - 0 + 4 2 3 1 - 0 - 1 5 1 - 0 - 4 1 3 1 - 0

= π 1 2 + 8 3 - 1 5 - 4 3

= π 49 30

Resposta

V = 49 30 π

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exemplo 2 em torno da reta x = 1 .
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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela parábola y 2 = 4 p xp0 e pela reta x = p em torno do eixo x = p .
Nos exercícios de 21 a 24, a região é limitada pelas curvas x = y 2 - 2ex = 6 - y 2 gira em torno do eixo indicado. Ache o volume do sólido gerado.24.a reta y = 2
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3 x - x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 1 .