Enunciado

Calcule o comprimento do segmento de reta 5 x - 2 y = 10 entre os seus interceptos x e y por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.

Passo 1

A questão pede para acharmos o comprimento da reta 5 x - 2 y = 10 entre os pontos de interseção com os eixos de três formas diferentes: distância entre pontos, fórmula do comprimento de curva integrando em x e integrando em y .

O primeiro passo é achar os pontos de interseção. Igualando x = 0 :

- 2 y = 10 ⇒ y = - 5 ⇒ ( 0 ,   - 5 )

Igualando y = 0 :

5 x = 10 ⇒ x = 2 ⇒ ( 2 ,   0 )

No item (a) vamos usar a distância entre pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Assim,

d = 2 - 0 2 + 0 - ( - 5 ) 2 = 4 + 25 = 29

Passo 2

Para o item (b) vamos usar a fórmula

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, como y ' = 5 / 2 , temos que

L = ∫ 0 2 1 + 5 2 2   d x = 29 2 ∫ 0 2 d x = 29

Passo 3

Por fim, fazendo a integração em y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Como x ' = 2 / 5

L = ∫ - 5 0 1 + 4 25   d y = 29 5 ∫ - 5 0 d y = 29

Resposta

29

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