Enunciado

Filmagem de um carro em movimento Você está filmando uma corrida a uma distância de 132 pés da pista, seguindo um carro que se desloca a 180 milhas/h (264 pé/s ), como mostra a figura a seguir. Quando o carro estiver exatamente na sua frente, a que velocidade o ângulo θ de sua câmera variará? E meio segundo mais tarde?

Passo 1

Dados do Carro:

d x d t = 264 f t s

Dado da Câmera:

y c o n s t a n t e = 132   f t

Quando a questão diz que a câmera está na sua frente quer dizer que o carro está exatamente embaixo da câmera, isso quer dizer a distância no eixo x é x =0 e θ = 0   . Só para situar, esse momento que está representado na figura o carro está em um x negativo.

Passo 2

Equação que correlaciona as variáveis:

t g θ = x y

Onde y é fixo que é o valor de 132’

Passo 3

Derivando a equação para responder a primeira pergunta:

1 cos 2 ⁡   θ   d θ d t = 1 132 × - d x d t

Uma vez que a distancia x diminui a partir da esquerda para direita até o ponto 0.

Como θ = 0 cos=1, substituindo dx/dt encontramos:

d θ d t = - 2   r a d / s ; sentido anti-horário, módulo do ângulo diminuindo.

Passo 4

Daqui a meio segundo o carro terá percorrido:

x = v t = 264   f t s × 0.5 s = 132   f t

Agora com o tempo decorrido. Temos os novos dados:

x = 132   f t , y = 132   f t   ,   θ = 45 ° = π 4   ,   s = 132 2   f t

cos ⁡ 45 = 2 2  

Substituindo na equação já derivada do começo da tangente temos:

1 2 2 2 d θ d t = 1 132   264

d θ d t = 1 r a d s

Módulo do ângulo aumentando.

Resposta

d θ d t = - 2   r a d / s ; sentido anti-horário.

d θ d t = 1 r a d s ; sentido anti-horário

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