Enunciado

Raio de um balão inflável Um balão esférico é inflado com hélio a uma taxa de 100

π p e s 3     /min. Quando o raio do balão for de 5 pés, qual será a taxa de seu aumento do raio? Qual será a taxa de aumento da área da superfície?

Passo 1

Pela questão ser simples e direta vamos apenas anotar o que é dito nela na notação que precisamos:

Dados:

d V d t = 100 π p é s 3 m i n

r = 5   p é s

Pede-se: d r d t , d S d t

Passo 2

Volume de uma esfera:

V = 4 3 π r 3

Área superficial de uma esfera:

S = 4 π r 2

Derivando as duas equações em relação ao tempo teremos:

d V d t = 4 π r 2 d r d t

d S d t = 8 π r d r d t

Passo 3

Com os dados que a questão oferece fica claro que é preciso resolver a primeira equação para depois partir para a segunda , então assim faremos:

Para a primeira equação diferencial:

100 π   p é s 3 m i n = 4 π × 25   p é s 2 d r d t  

Com isso encontramos a variação do raio:

d r d t = 1   p é s m i n

Agora podemos encontrar a taxa de variação da superfície

d S d t = 8 π ×   5 f t   × 1   p é s m i n    

Logo:

d S d t = 40   π   p é s 2 m i n

Resposta

d r d t = 1   p é s m i n

d S d t = 40   π p é s 2 m i n

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