Enunciado

Uma força de 10 lb é necessária para manter uma mola esticada 4 pol além do seu comprimento natural. Quanto trabalho é realizado para estica-la do seu comprimento natural até 6 pol além do seu tamanho natural?

Passo 1

Opa, bora lá! Aqui vamos usar a Lei de Hooke:

f x = k x

Onde f x é a força necessária pra esticara mola, que na questão é de 10 ln, por x unidades além do seu comprimento, onde x = 4 , em polegadas, que equilave a 1 3 pés, dado na questão, vamos então achar k :

k = f x x = 10 1 3 = 30   l b / p e s

Temos então que f x = 30 x , vamos agora calcular o trabalho:

Para calcular o trabalho vamos usar a fórmula da integral, pois aqui temos a força como uma função:

W = ∫ a b f x d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f x , como a distância percorrida até 6 pol, que equivale a 1 2 pés, temos que a = 0 e b = 1 2 , e f x = 30 x . Vamos susbtituir agora então:

W = ∫ a b f x d x = ∫ 0 1 2 30 x d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar. Vamos resolver a integral separadamente, e aí voltamos à expressão:

∫ 30 x d x = 30 ∫ x d x = 30 ∙ x 1 + 1 1 + 1 = 30 ∙ x 2 2 = 15 x 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

W = ∫ 0 1 2 30 x d x = 30 x 2 0 1 2 = 30 . 1 2 2 - 30 . 0 2 = 15 4   p é s . l b

Prontinho!

Resposta

W = 15 4   p é s . l b

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