Enunciado

Se f e g forem funções cujos gráficos estão ilustrados, seja u x = f x g x e v x = f x / g x .

a) Encontre u ' ( 1 ) .

b) Encontre v ' ( 5 ) .

Passo 1

E aí, galerinha? 😬

O enunciado nos deu o gráfico de duas funções f e g e definiu duas novas funções: u sendo o produto de f por g e v sendo o quociente de f por g .

u x = f x g x

v x = f x g x

A partir daí, devemos achar as derivadas dessas funções conhecendo as derivadas de f e g .

u ' 1 e v ' 5

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que prestar atenção que u consiste em um produto de funções, então sua derivada pode ser calculada a partir da regra do produto

u ' x = f ' x · g x + f x · g ' x

Já a função v consiste no quociente de duas funções, então sua derivada pode ser calculada a partir da regra do quociente...

v ' x = f ' x · g x - f x · g ' x g 2 x

Veja só! 😉

Passo 2

No item a) queremos a derivada de u , ou seja

Vamos aplicar a regra do produto

u ' x = f ' x   g x + f x   g ' ( x )

Substituindo x = 1 :

u ' 1 = f ' 1 g 1 + f 1 g ' ( 1 )

Analisando o gráfico, é imediato que f 1 = 2 e g 1 = 1 .

Como f e g são retas em torno de x = 1 , suas derivadas nesse ponto serão os coeficientes angulares das retas.

g ' 1 = ∆ y ∆ x = - 2 2 = - 1

f ' 1 = ∆ y ∆ x = 4 2 = 2

Substituindo esses valores na expressão para u ' 1 :

u ' 1 = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 1

u ' 1 = 2 - 2

u ' 1 = 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora no item b) queremos calcular a derivada de v

Aplicando a regra do quociente:

v ' x = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x 2

Substituindo x = 5 :

v ' 5 = f ' 5 g 5 - f 5 g ' ( 5 ) g 5 2

Note que do gráfico tiramos f 5 = 3 e g 5 = 2 . Além disso,

f ' 5 = ∆ y ∆ x = - 1 3

g ' 5 = ∆ y ��� x = 2 3

Assim,

v ' 5 = - 1 3 ⋅ 2 - 3 ⋅ 2 3 2 2 = - 2 3 - 2 4

v ' 5 = - 8 3 4 = - 8 12

v ' 5 = - 2 3

E aí! o que achou? Responde Aí! 😊

Resposta

a)   0 .

b) - 2 / 3 .

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