Enunciado

a) Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 x sin ⁡ x no ponto π 2 , π .

b) Ilustre a a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente à curva y = 2 x sin ⁡ x no ponto π 2 , π .

Essa equação da reta é dada de forma geral por:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto dado e m é o coeficiente angular da reta.

Para encontrar esse coeficiente, precisamos derivar a função y = 2 x sin ⁡ x , usando a regra do produto, e substituir tudo na equação da reta.

Lembrando que a regra do produto é dada da seguinte forma:

u * v ' = u ' v + u v '

Depois, vamos esboçar o gráfico da função e da reta tangente na mesma tela.

Vamos lá! 😉

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função para encontrar o coeficiente angular da reta tangente. Usando a regra do produto, temos:

y ' x = 2 x ' ∙ sin ⁡ x + 2 x ∙ sin ⁡ x '

y ' x = 2 sin ⁡ x + 2 x cos ⁡ x

Agora, vamos substituir x = π 2 e y ' x = m :

m = 2 sin ⁡ π 2 + 2 π 2 cos ⁡ π 2

Como sin ⁡ π 2 = 1 e cos ⁡ π 2 = 0 , temos:

m = 2  

Passo 3

Então, usando m = 2 , x 0 = π 2 e y 0 = π na equação da reta, vamos ter:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

y - π = 2   x - π 2

Isolando y :

y = 2 x - π + π

E simplificando:

y = 2 x

Essa é a equação da reta tangente à curva y = 2 x sin ⁡ x no ponto π 2 , π .

Passo 4

Esboçando a curva y = 2 x sin ⁡ x , em vermelho, a reta tangente y = 2 x , em azul, temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a)   y = 2 x .

b) Esbcoço de gráfico.

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