Enunciado

Se a e b forem números fixos, encontre equações paramétricas para a curva que consiste de todas as posições possíveis do ponto P na figura, usando o ângulo θ como parâmetro. Então elimite o parâmetro e identifique a curva. O segmento de reta A B é tangente ao círculo maior.

Passo 1

Queremos as coordenadas ( x , y ) do ponto P em função de θ , certo?

Vamos imaginar dois triângulos retângulos nessa figura, assim:

Então temos o triângulo menorzinho, que é o triângulo O C D e o triangulo maior, que é o triangulo O B A , beleza?

E ah, importante! Como o enunciado disse que a reta A B é tangente, isso significa que ela faz um ângulo de 90 graus com a circunferência, de modo que o triangulo O B A também tá um triângulo retângulo, tá certo?

Se você reparar pela figura podemos dizer que as coordenadas do nosso ponto P são

x = O B

y = C D

Só precisamos descobrir a medida desses segmentos e teremos a parametrização que queremos.

Passo 2

Como estamos falando de dois triângulos retângulos, podemos usar relações com seno e cosseno, assim, essas duas medidas saem rapidamente, olha só:

Do triangulo menor:

sin ⁡ θ = C D b

C D = b sin ⁡ θ

E do triangulo maior:

cos ⁡ θ = a O B

ATENÇÃO que dessa vez o a não é a hipotenusa do triângulo e sim um dos catetos! Não vai errar isso hein!!!

O B = a cos ⁡ θ

Isso significa que a parametrização da nossa curva é:

x = a cos ⁡ θ

y = b sin ⁡ θ

Passo 3

Agora precisamos eliminar o parâmetro e identificar que curva é essa em termos de x e y , ou seja, dizer a equação cartesiana dessa curva.

Bom, a ideia é a gente tentar isolar o parâmetro, mas como ele está associado a um seno e cosseno, vamos isolar o seno e o cosseno:

cos ⁡ θ = a x

s e n ⁡ θ = y b

Agora o que que a gente usa toda vez que a gente quer se livrar de seno e cosseno?

Relação fundamental da trigonometria!!!!!

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

⇒ a x 2 + y b 2 = 1

E isso, por mais estranho que pareça, é a equação de uma hipérbole.

Resposta

x = a cos ⁡ θ

y = b sin ⁡ θ

⇒ a x 2 + y b 2 = 1

A curva é uma hipérbole.

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