Enunciado

Se um projétil for atirado com uma velocidade inicial v 0 metros por segundo com um ângulo α acima da horizontal e a resistência do ar for considerada desprezível, então sua posição, depois de t segundos é dada pelas equações paramétricas

x = v 0 cos ⁡ α t

y = v 0 sen ⁡ α t - 1 2 g t 2

Onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8 m / s 2 ) .

  1. Se uma arma foir disparada com α = 30 ° e v 0 = 500 m / s , quando a bala atingirá o solo? A que distância da arma a bala atingirá o solo? Qual altura máxima alcançada pela bala?
  2. Use um dispositivo gráfico para verificar suas respostas na parte (a). Em seguida, faça um gráfico da trajetória do projétil para vários outros valores do ângulo para ver onde ele atinge o solo. Resuma suas descobertas.
  3. Mostre que a trajetória é parabólica eliminando o parâmetro.

Passo 1

Oiii, tudo certinho contigo?? Vamos resolver mais uma questãozinha??

O enunciado nos dá as equações da posição de um objeto que foi atirado num lançamento oblíquo:

x = v 0 cos ⁡ α t

y = v 0 sen ⁡ α t - 1 2 g t 2

Onde x é a trajetória na horizontal e y , da vertical.

Além disso, v 0 é a velocidade inicial, α é o ângulo que o abjeto faz com a horizontal, t é o tempo, g é a aceleração da gravidade.

Na letra (a) queremos encontrar o tempo e a distância em que a bala atingirá o solo quando α = 30 ° e v 0 = 500 m / s . Além disso, também queremos encontrar a altura máxima.

Para isso, sabemos que a bala atingirá o solo quando a altura y for zero. Assim, a gente encontra o valor de t e aplica em x .

Sabemos também que a altura máxima ocorre na metade do tempo. Assim, a gente substituir o novo valor de t em y para encontrar a altura máxima.

Em seguida a gente plota o gráfico de y x para confirmar esses valores. E, por fim, isolamos t em uma das equações e substituímos na outra para verificarmos que a trajetória é parabólica (uma equação do segundo grau).

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Com os dados que ele deu pra gente aqui na letra a), temos que as equações paramétricas da trajetória da bala é dada por

x = 500 cos ⁡ 30 t = 250 3 t

E

y = 500 sen ⁡ 30 t - 1 2 9,8 t 2 = 250 t - 4,9 t 2

Como ele quer saber quando a bala atingirá o solo, basta que a gente faça y = 0 e assim teremos o valor do instante t em que ela cai no chão, sacou?

y = 500 sen ⁡ 30 t - 1 2 9,8 t 2 = 0 ∴

500 ∙ 1 2 t - 1 2 9,8 t 2 = 0 ∴

250 t - 4,9 t 2 = 0 ∴

t - 4,9 t + 250 = 0 ∴

t = 0

ou

t = - 250 - 4,9 = 51,02   s

Assim, o instante em que a bala atingirá o solo novamente é 51   s .

Passo 3

Agora para saber a que distância da arma a bala cai no chão, vamos considerar que a arma está na origem dos eixos.

Dessa forma, a distancia da bala até a arma é dada por x e para descobrir essa distância basta substituir t = 51 s na parametrização de x .

x = 500 cos ⁡ 30 t ∴

x = 500 3 2 51 ≈ 220 92   m

Assim, a bala caiu a uma distancia de mais ou menos 22   k m da arma.

Passo 4

Agora para encontrar a altura máxima atingida pela bala, a gente pensa o seguinte, se ela leva 51 segundos para cair no chão novamente, então na metade desse tempo ela estava lá na altura máxima que ela atingiu.

Faz sentido?

Assim, o tempo para ela atingir a altura máxima é

t = 51 2 = 25,5

(você poderia chegar a essa conclusão também pegando a componente y , derivando e igualando a zero).

E a altura máxima é:

y = 250 t - 4,9 t 2

y = 250 ( 25,5 ) - 4,9 ( 25,5 ) 2

y ≈ 3189   m

Ou seja, a bala atinge uma altura máxima de aproximadamente 3   k m .

Passo 5

Vamos para letra (b) agora.

Plotando essas equações paramétricas, observamos o seguinte gráfico:

Note que já respondemos a letra (c) aqui rsrs (mas a gente vai demonstrar ela no passo 6 😉)

Agora, analisando o gráfico, podemos analisar que o ponto de máximo ocorre mesmo em y ≈ 3189   m , que foi o valor calculado:

Também a gente pode ver a distância total:

Note que a distância total foi igual a calculada, ou seja, x ≈ 220 92   m .

Passo 6

Agora vamos ver o que acontece quando mudamos o ângulo α para ver onde o projétil atinge o solo.

Aqui é o seguinte: A altura máxima e a maior distância alcançada ocorrem quando a velocidade inicial do objeto é dividida igualmente entre as componentes horizontal e vertical do movimento.

Assim, o lançamento vai ter maior altura e maior distância quando lançados em um ângulo de 45 ° !!

Passo 7

Agora vamos eliminar o parâmetro para mostrar que se trata de uma parábola.

Nossa parametrização é:

x = 250 3 t

y = 250 t - 4,9 t 2

Isolando t na primeira equação, temos:

t = x 250 3

Substituindo na segunda:

y = 250 x 250 3 - 4,9 x 250 3 2 ∴

y = x 3 - 4,9 ∙ x 2 250 2 ∙ 3 ∴

y = 3 3 x - 4,9 187500 x 2

Que nada mais é que a equação de uma parábola

Resposta

(a)

O instante em que a bala atingirá o solo novamente é 51   s .

A bala caiu a uma distancia de mais ou menos 22   k m da arma.

A bala atinge uma altura máxima de aproximadamente 3   k m .

(b)

O lançamento vai ter maior altura e maior distância quando lançados em um ângulo de 45 ° .

(c)

y = 3 3 x - 4,9 187500 x 2

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