Enunciado

2. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por

x 2 + y 2 ≤ 1

Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde x 2 + y 2 = 1 ) de modo que a temperatura em cada ponto é dada por

T x , y = x 2 + 2 y 2 - x

Determine os pontos de maior e menor aquecimento

Passo 1

Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema

∇ f x , y = λ ∇ g

g x , y

Onde f é a nossa função e g é nossa região. Sendo λ nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde

∇ f x , y = 0,0

E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da nossa função

T x , y = x 2 + 2 y 2 - x

∇ T x , y = 2 x - 1 , 4 y

Assim o gradiente se anula no ponto

1 2 ,   0

Nesse ponto nossa função de calor tem o seguinte valor

T 1 2 , 0 = 1 4 - 1 2  

=   - 1 4

Passo 3

Agora vamos usar o método de Lagrange. Vamos calcular o gradiente de g

g   :   x 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g = 2 x , 2 y

Com isso nosso sistema é

2 x - 1 = λ 2 x

4 y = λ 2 y

  x 2 + y 2 - 1 = 0

Pela equação II podemos dizer que

λ = 2

Com isso, usando na equação I temos que :

2 x - 1 = 4 x

x =   - 1 2

Vamos usar esse valor na equação III

x 2 + y 2 - 1 = 0

1 4 + y 2 - 1 = 0

y =   ± 3 2

Com isso o valor desses pontos na nossa função é

T - 1 2 , 3 2 =   T - 1 2 , - 3 2

T - 1 2 , 3 2 = 1 4 + 2 3 4 + 1 2

T - 1 2 , 3 2 = 9 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Mínimo

T 1 2 , 0 =   - 1 4

Máximo

T - 1 2 , 3 2 =   T - 1 2 , - 3 2

= 9 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

14.37. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 51
14.32. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 44
14.31. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 43
14.30. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 42
Determinar a distância mínima entre o ponto (0, 1) e a curva x 2 = 4 y .