Enunciado

As fórmulas seguintes, chamadas formulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial:

  1. d T → d s = κ N →
  2. d N → d s = - κ T → + τ B →
  3. d B → d s = - τ N →

A fórmula 1 vem do exercício 51 , e a fórmula 3 do exercício 53 . Use o fato de que N → = B → × T → para deduzir a fórmula 2 a partir das fórmulas 1   e   3 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que o vetor normal N → pode ser definido como:

N → = B → × T →

Passo 2

Agora vamos fazer a derivada de N → em função de s :

d N → d s = d B → × T → d s = d B → d s × T → + B → × d T → d s

Certo até aqui?

Passo 3

Agora usando as fórmulas 1   e   3 do enunciado, temos:

d N → d s = - τ N → × T → + B → × κ N →

d N → d s = - τ ( N → × T → ) + κ ( B → × N → )

Mas sabemos que o sentido positivo do produto vetorial é

N → → B → → T → → N →

No primeiro termo do lado direito temos N → × T → e o resultado é – B →

No segundo termo do lado direito temos B → × N → e o resultado é – T →

Passo 4

Substituindo na expressão para d N → d s temos:

d N → d s = - τ - B → + κ - T → = τ B → - κ T →

E tá aí a fórmula 2 do sistema Frenet-Serret.

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

d N → d s = - τ - B → + κ - T → = τ B → - κ T →

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