Enunciado

(a) Uma luminária tem duas lâmpadas de um tipo com tempo de vida médio de 1000 horas. Supondo que possamos modelar a probabilidade de falha dessas lâmpadas por uma função densidade exponencial com média μ = 1000 , determine a probabilidade de que ambas as lâmpadas venham a falhar dentro de um período de 1000 horas.

(b) Outra luminária tem somente uma lâmpada do mesmo tipo das da parte (a). Se a lâmpada queima e é trocada por outra do mesmo tipo, determine a probabilidade de que as duas venham a falhar dentro de 1000 horas.

Passo 1

(a) Galera, o exercício nos disse que dá pra modelar a probabilidade de falha de cada lâmpada por uma função densidade exponencial. Como a média é μ = 1000 , podemos escrever:

f x = e - x / 1000 1000   ,                     f y = e - y /   1000 1000   ,                               x ,   y ≥ 0

f x ,   y = f x .   f y = e - x / 1000 1000   .   e - y / 1000 1000

Passo 2

Então, pra calcular a probabilidade de ambas falharem dentro de 1000 horas, fazemos assim:

P 0 ≤ X ≤ 1000 ,   0 ≤ Y ≤ 1000 = ∫ 0 1000 ∫ 0 1000 f x ,   y   d x   d y   = ∫ 0 1000 e - x / 1000 1000   d x ∫ 0 1000 e - y / 1000 1000   d y = - e - x 1000 0 1000   .   - e - y 1000 0 1000 = - e - 1 + 1 - e - 1 + 1 = 1 - 1 e 2

Passo 3

(b) Nesse caso, para que as duas falhem dentro de 1000 horas, teremos que a soma dos tempos de falha de cada uma seja no máximo 1000 :

P 0 ≤ X + Y ≤ 1000 = P 0 ≤ X ≤ 1000 ,   0 ≤ Y ≤ 1000 - X = ∫ 0 1000 ∫ 0 1000 - x e - x 1000 1000   .   e - y 1000 1000   d y   d x = ∫ 0 1000 e - x 1000 1000 - e - y 1000 0 1000 - x d x   = ∫ 0 1000 e - x 1000 1000 - e - 1 + x 1000 + 1 d x = ∫ 0 1000 e - x 1000 1000 - e - 1 1000   d x = - e - x 1000 - e - 1 x 1000 0 1000 = - e - 1 - e - 1 + 1 + 0 = 1 - 2 e

Resposta

(a) 1 - 1 e 2

(b) 1 - 2 e

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