Enunciado

Mostre que a curvatura de uma curva plana é κ = | d ϕ / d s | , onde ϕ é o ângulo entre T → e i → , isto é, ϕ é o ângulo de inclinação da reta tangente. (Isso mostra que a definição de curvatura é consistente com a definição dada para curvas planas no exercício 69 da seção 10.2 )

Passo 1

Olá, vamos treinar um pouco o conceito de curvatura?

Vamos supor uma curva C arbitrária num espaço 2 D :

T e podemos expressar ele em função do ângulo ϕ :

T → ϕ = c o s ϕ i → + s e n ϕ   j →

Passo 2

Ok até aqui?

A taxa de variação do vetor tangente vai ser:

d T → d ϕ = - s e n ϕ   i → + c o s ϕ   j →

E o módulo desse vetor é:

d T → d ϕ = - s e n ϕ 2 + c o s ϕ 2 = 1

Passo 3

Pela regra da cadeia temos:

d T → d s = d T → d ϕ . d ϕ d s

Passo 4

A curvatura κ é definida como:

κ = d T → d s

E usando o resultado do passo 3 aqui temos:

κ = d T → d ϕ . d ϕ d s

E agora vamos lá no passo 2 resgatar o valor de d T → d ϕ :

κ = 1 . d ϕ d s

Portanto:

κ = d ϕ d s

Assim temos que a curvatura no espaço 2 D pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação de ϕ com relação a s . Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo ϕ em relação a s .

Notem que legal: como a reta tem um ângulo constante ϕ de inclinação, então sua taxa de variação d T → d ϕ é zero, ou seja, κ s = 0 , o que é consistente com o fato de que a reta tem curvatura zero em todos os pontos.

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

κ = d ϕ d s

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