Enunciado

Na figura existem infinitos círculos se aproximando dos vértices de um triângulo equilátero. Cada círculo toca outros círculos e lados do triângulo. Se o triângulo tiver lados de comprimento 1 , calcule a área total ocupada pelos círculos.

Passo 1

Galera, aqui o comando é simples, queremos a área total ocupada pelos círculos.

Podemos escrever a área total, que é a soma da área do círculo central mais 3 vezes a soma da série de áreas dos círculos que se aproximam cada vez mais de cada vértice do triângulo:

A = π r 1 2 + 3 π r 2 2 + π r 3 2 + …

Então vamos fazer uma figura de apenas 1 / 3 dessa esquema, com comprimentos e ângulos, pra gente relacionar essas grandezas.

Vamos relacionar esses

Passo 2

Repare que teremos ∠ B A C = 60 ° , de forma que:

cos ⁡ 60 ° = r 1 A B

1 2 = r 1 A B

A B = 2 r 1

Com o triângulo menor, por causa da semelhança com o triângulo A B C , obtemos:

cos ⁡ 60 ° = r 2 D B

D B = 2 r 2

Veja que temos o seguinte, olhando para o segmento A B :

A B = r 1 + r 2 + D B

2 r 1 = r 1 + r 2 + 2 r 2

r 2 = 1 3 r 1

Em geral, teremos:

r n + 1 = 1 3 r n

Passo 3

Substituindo na equação da área:

A = π r 1 2 + 3 π r 2 2 + π r 3 2 + … = π r 1 2 1 + 3 1 3 2 + 1 3 4 + 1 3 6 + …

Isso é uma série geométrica e sua soma é:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Portanto:

A = π r 1 2 1 + 3 1 9 1 - 1 9 = π r 1 2 1 + 3 1 8

Finalmente:

A = 11 8 π r 1 2

Passo 4

Show! Para termos um valor numérico da área, vamos lembrar lá da Geometria Plana qual é o raio do círculo inscrito no triângulo equilátero:

r 1 = 1 3 H = 1 3 L 3 2

No nosso caso, L = 1 , então:

r 1 = 3 6

Ou seja,

A = 11 8 π r 1 2 = 11 8 π 3 6 2 = 11 π 96

Resposta

A = 11 π 96

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