Calcule a integral

∫ d v   e 2 v - 1

Passo 1

Para calcular a integral acima façamos, primeiramente, a seguinte substituição

u =   - 2 x → d u d x =   - 2 → d x =   - d u 2

Então, nossa integral pode ser reescrita como sendo

- 1 2 ⋅ ∫ d u e - u - 1

Passo 2

Agora, nosso problema gira em torno de resolver a integral ∫ d u e - u - 1 e para resolvê-la vamos usar mais uma substituição simples. Fazendo x = e - u - 1 → d x d u = - e - u → d u = - e u   d x , então, nossa integral fica escrita como sendo

1 2 ⋅ ∫ d x x ⋅ ( x + 1 )

Se tomarmos, por fim, uma última substituição poderemos resolver a integral de maneira mais simples

y =   x → d y d x = 1 2 x → d y = d x 2 x

∫ d y y 2 + 1 = arctan ⁡ ( y ) + C

Retornando a variável v   de origem, vamos obter

arctan ⁡ y + C = arctan ⁡ x + C =

arctan ⁡ e - u - 1   + C = arctan ⁡ e 2 v - 1 + C

Resposta

arctan ⁡ e 2 v - 1 + C

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