Enunciado

A Função de Besse de ordem 0 , y = J ( x ) , satisfaz a equação diferencial x y ' ' + y ' + x y = 0 para todos os valores de x e seu valor em 0 é J 0 = 1 .

  1. Encontre J ' 0 .
  2. Use a derivação implícita para encontrar J ' ' 0

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão fala pra gente da função de Besse de ordem 0 . Uma função do tipo

y = J x

Que satisfaz a equação diferencial

x y ' ' + y ' + x y = 0

E sabemos que em 0 temos J 0 = 1

Precisaremos no item a) encontrar J ' 0 , e no item b) encontrar J ' ' 0 através da derivação implícita.

Então partiu fazer tudo isso.

Passo 2

Vamos começar com o item a)

Temos que

y = J x

satisfaz

x y ' ' + y ' + x y = 0

Substituindo, teremos

x J ' ' x + J ' x + x J x = 0

O enunciado nos disse que em x = 0 J ' 0 = 1

Assim, a derivada de segunda ordem será igual a zero, já que

J ' 0 ' = 1 '

J ' ' 0 =   0

Assim, temos que:

0 + J ' 0 + 0 = 0

Isso nos dá que:

J ' 0 = 0

Show, a primeira já foi.

Passo 3

Agora vamos fzer o item b).

Derivando implicitamente cada termo de

x y ' ' + y ' + x y = 0

nós temos que

x y ' ' ' + y ' ' + x y = 0

Perceba que no primeiro e no terceito termo precisaremos usar a regra do produto. Assim:

x y ' ' ' + y ' ' ⋅ 1 + y ' ' + x y ' + y ⋅ 1 = 0

Isso implica que:

x y ' ' ' + 2 y ' ' + x y ' + y = 0

Então,

J ' ' ' x + 2 J ' ' x + x J ' x + J x = 0

Substuindo x = 0 e tudo que a gente já conhece, temos:

0 + 2 J ' ' 0 + 0 + 1 = 0

Isso nos da que:

2 J ' ' 0 = - 1

E então,

J ' ' 0 = - 1 2

E prontinho. Questão resolvida.

Resposta

  1. J ' 0 = 0
  2. J ' ' 0 = - 1 2
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