Enunciado

Encontre a derivada da função.

56) g (x) = int_(1 - 2 x)^(1 + 2 x) t . s e n t . d t

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos pensar no que precisamos achar. Neste caso, devemos achar a derivada da função g.

Como faremos? Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Mas para poder usá-lo, devemos ter somente uma variável por integral. Então vamos manipular um pouquinho, ok?

int_(1 - 2 x)^(1 + 2 x) t . s e n t . d t = int_(1 - 2 x)^0 t . s e n t . d t + int_0^(1 + 2 x) t . s e n t . d t

Ainda não está bem no formato que precisamos, então bora manipular mais um pouco:

= - int_0^(1 - 2 x) t . s e n t . d t + int_0^(1 + 2 x) t . s e n t . d t

Agora sim ! Vamos resolver separadamente cada uma.

Passo 2

Começando por:

h (x) = - int_0^(1 - 2 x) t . s e n t . d t

Vamos fazer uma substituição:

u = 1 - 2 x

Se queremos a derivada de h em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

(d h ( x ))/(d x) = (d h ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então primeiro vamos derivar h(x) em função de u:

(d h ( x ))/(d u) = - int_0^u t . s e n t . d t

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

(d h ( x ))/(d u) = - u . s e n u

Substituindo u:

(d h ( x ))/(d u) = - ( 1 - 2 x ) . s e n ( 1 - 2 x )

Agora nos falta achar (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = - 2

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

h^' (x) = - 2 xx - ( 1 - 2 x ) . s e n ( 1 - 2 x )

h^' (x) = ( 2 - 4 x ) . s e n ( 1 - 2 x )

Ok! Finalizamos a primeira integral, mas g é composta de duas !

Passo 3

Agora vamos para :

t (x) = int_0^(1 + 2 x) t . s e n t . d t

Vamos fazer uma substituição:

u = 1 + 2 x

Se queremos a derivada de t em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

(d t ( x ))/(d x) = (d t ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então primeiro vamos derivar t(x) em função de u:

(d t ( x ))/(d u) = int_0^u t . s e n t . d t

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

(d t ( x ))/(d u) = u . s e n u

Substituindo u:

(d t ( x ))/(d u) = ( 1 + 2 x ) . s e n ( 1 + 2 x )

Agora nos falta achar (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = 2

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

t^' (x) = 2 ( 1 + 2 x ) . s e n ( 1 + 2 x )

t^' (x) = ( 2 + 4 x ) . s e n ( 1 + 2 x )

Ufaa! Agora vamos juntar!

g^' (x) = (2 - 4 x) . s e n (1 - 2 x) + ( 2 + 4 x ) . s e n ( 1 + 2 x )

Nós podemos ainda usar as identidades trigonométricas para manipular mais um pouco, mas não é obrigatório!

s e n (1 + 2 x) = s e n (1) . cos ( 2 x ) + cos ( 1 ) . s e n ( 2 x )

s e n (1 - 2 x) = s e n (1) . cos ( 2 x ) - cos ( 1 ) . s e n ( 2 x )

Substituindo:

g^' (x) = (2 - 4 x) . ( s e n (1) . cos (2 x) - cos (1) . s e n ( 2 x ) ) + ( 2 + 4 x ) . ( s e n (1) . cos ( 2 x ) + cos ( 1 ) . s e n ( 2 x ) )

Então:

g^' (x) = 2 s e n (1) . cos (2 x) - 2 cos (1) . s e n (2 x) - 4 x s e n (1) . cos (2 x) + 4 x cos (1) . s e n (2 x) + 2 s e n (1) . cos (2 x) + 2 cos (1) . s e n (2 x) + 4 x s e n (1) . cos (2 x) + 4 x cos ( 1 ) . s e n ( 2 x )

g^' (x) = 4 s e n (1) . cos (2 x) + 8 x cos (1) . s e n (2 x)

Prontinhoo!

Resposta

g^' (x) = 4 s e n (1) . cos (2 x) + 8 x cos (1) . s e n (2 x)

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