Enunciado

A função cujo gráfico é dado a seguir é uma solução de uma das seguintes equações diferenciais. Decida qual é a equação correta e justifique sua resposta.

Passo 1

Precisamos analisar as equações dos itens A,B e C, e seus gráficos para ver qual delas respeita o comportamento do gráfico dado.

Passo 2

A. Na primeira equação, y ' = 1 + x y ao olharmos pontos pertencentes ao primeiro quadrante (onde x ≥ 0 ) sabemos que y ' > 1 , ou seja, é uma reta com inclinação positiva. Mas note que no gráfico podemos ver que a função decresce em alguns pontos do primeiro quadrante, então y ' < 0 , o que não condiz com a nossa conta. Por esse motivo, a primeira equação não pode ser a resposta correta.

Passo 3

B. Vamos analisar a equação y ' =   - 2 x y , note que quando x = 0 , y ' = 0 , mas podemos ver no gráfico que quando x = 0 , y ' > 0 , portanto essa não pode ser a solução

Passo 4

C. Agora vamos olhar para a equação y ' = 1 - 2 x y . Quando x = 0 , y ' pode ser igual a 1 . Quando x < 0 , y ' é menor que 1 , o que pode ser verdade pelo gráfico.

Isolando y na equação, ficamos com y = 1 - y ' 2 x , disso podemos concluir que quando x assume valores bem grandes, y fica cada vez menor, se aproximando de 0 , como mostra o gráfico.

Com isso, podemos concluir que a equação C é a correta.

Resposta

C. y ' = 1 - 2 x y

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