Enunciado

Para a função custo (dada em dólares), encontre (a) o custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de 1000 unidades; (b) o nível de produção que vai minimizar o custo médio; e (c) o custo médio mínimo.

C x = 40000 + 300 x + x 2

Passo 1

(a) O custo para 1000 unidades é calculado diretamente a partir da função:

C 1000 = 40.000 + 300 1000 + 1000 2

= 40.000 + 300.000 + 1.000.000

⇒ C 1000 = 1.340.000   d ó l a r e s

Passo 2

O custo médio é o custo por unidade. Dividimos então o custo C ( x ) pelo número x de unidades:

c x = C x x = 40000 + 300 x + x 2 x

Para x = 1000 , teremos:

c 1000 = C 1000 1000 = 1.340.000 1000 = 1.340   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Passo 3

O custo marginal é calculado a partir da derivada do custo total. Derivando então, temos:

C x = 40000 + 300 x + x 2

⇒ C ' x = 300 + 2 x

Para x = 1000   u n i d a d e s , então:

C ' 1000 = 300 + 2 1000 = 2.300   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Passo 4

(b) Vamos derivar a função do custo médio e igualar a derivada a zero, para encontrar o valor de x para o qual ela é mínima. Temos:

c x = 40000 + 300 x + x 2 x = 40000 x + 300 + x

Derivando:

c ' x = - 40000 x 2 + 1

Igualando a zero:

c ' x = 0

⇒ - 40000 x 2 + 1 = 0

⇒ 40000 x 2 = 1

⇒ x 2 = 40000

⇒ x = 200   u n i d a d e s

Para garantir que esse é um ponto mínimo, devemos ter a segunda derivada positiva (concavidade para cima). Derivando c ' ( x ) , temos:

c ' ' x = - 40000 - 2 x 3 = 80000 x 3

Para x positivo, c ' ' ( x ) é sempre positivo, então temos para x = 200 de fato um ponto mínimo.

Passo 5

(c) Para achar o custo médio mínimo, calculamos c ( x ) para o valor x = 200 que acabamos de achar:

c x = 40000 x + 300 + x

c M Í N = c 200 = 40000 200 + 300 + 200

⇒ c M Í N = 700   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Resposta

(a)

C 1000 = 1.340.000   d ó l a r e s

c 1000 = 1.340   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

C ' 1000 = 2.300   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

(b)

x = 200   u n i d a d e s

(c)

c M Í N = 700   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

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