Enunciado

A função y = f x é dada implicitamente pela equação 3 y 2 + 2 x y - x 2 = 3 . Sabe-se que, para todo x ∈ D f , f x > 0 e que f admite uma reta tangente T paralela à reta 5 y - x = 2 . Determine T .

Passo 1

Toda reta paralela tem o mesmo coeficiente angular que é o termo a da equação y = a x + b .

Sendo assim, isolando o y :

5 y - x = 2

5 y = x + 2

y = x + 2 5

y = 1 5 x + 2 5

Então, nesse caso a = 1 5 .

Como queremos uma reta tangente a 3 y 2 + 2 x y - x 2 = 3 , a derivada da função dada no ponto de tangência deve ser seu coeficiente angular: f ' x 0 = 1 5 .

Para achar x 0 , devemos derivar implicitamente a função:

3 y 2 + 2 x y - x 2 ' = 3 '

6 y   y ' + 2 y + x   y ' - 2 x = 0

6 y   y ' + 2 y + 2 x   y ' - 2 x = 0

3 y   y ' + y + x   y ' - x = 0

y ' 3 y + x = x - y

y ' = x - y 3 y + x

f ' x = x - y 3 y + x

Passo 2

Se   f ' x 0 = 1 5 , então temos a relação:

x 0 - y 0 3 y 0 + x 0 = 1 5

5 x 0 - 5 y 0 = 3 y 0 + x 0

4 x 0 = 8 y 0

x 0 = 2 y 0

Se y 0 = f x 0 , podemos relacionar as duas incógnitas na equação da função:

3 y 2 + 2 x y - x 2 = 3

3 y 0 2 + 2 x 0 y 0 - x 0 2 = 3

3 y 0 2 + 2 2 y 0 y 0 - 2 y 0 2 = 3

3 y 0 2 + 4 y 0 2 - 4 y 0 2 = 3

3 y 0 2 = 3

y 0 2 = ± 1

O enunciado nos diz que f x > 0 , então:

y 0 = 1

E como x 0 = 2 y 0 :

x 0 = 2

Passo 3

Assim, para encontrar a reta tangente em x 0 , basta substituir os valores na fórmula

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

y - 1 = 1 5 x - 2

y = 1 5 x - 2 5 + 1

y = 1 5 x - 2 5 + 5 5

y = 1 5 x + 3 5

y = 1 5 x + 3

Logo, a reta tangente T é dada pela equação

y = 1 5 x + 3

Resposta

y = 1 5 x + 3

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