Enunciado

Considere um triângulo isósceles situado no semipleno y ≥ 0   e com base paralela ao eixo x . Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x , é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.

Passo 1

Bem, vamos desenhar esse triângulo:

Temos, podemos tirar o tamanho máximo de y por Pitágoras:

L 2 = y 2 + L 2 2

y = 3 2   L

Portanto, podemos tirar a equação da reta para o triângulo retângulo que a base vai de x = 0 até x   = L 2 .

y = 3 x  

E para a parte que vai de x   = L 2 até x   = L

y = -   3 x  

Portanto o volume do sólido é dado por:

V = 2 ∫ 0 L 2 3 x 2   d x     = 6   ∫ 0 L 2   x 2   d x =       6 x 3 3 0 L 2

V = L 3 4

Resposta

V = L 3 4

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