Enunciado

f é uma função definida em R tal que sua derivada segunda é igual à diferença entre sua derivada primeira e ela própria. Determine f sabendo, ainda, que f 0 = 0   e   f ' 0 = 1

Passo 1

Vamos escrever matematicamente oq eu nos foi dado:

A derivada da segunda (ou seja ,   f " ( x ) ) é igual à diferença ( - ) entre sua derivada primeira f ' x e ela própria f x , ou seja:

f ' ' x = f ' x - f x

Colocando tudo do mesmo lado:

f ' ' x - f ' x + f x = 0

Passo 2

Agora que sabemos a relação, vamos tentar achar a função f x

Se usarmos, para esse caso que f x = e λ x → f ' x = λ e λ x → f ' ' x = λ 2 e λ x , assim:

f ' ' x - f ' x + f x = 0 → λ 2 e λ x - λ e λ x + e λ x = e λ x λ 2 - λ + 1 = 0 → λ 2 - λ + 1 = 0

λ 2 - λ + 1 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 1   e   c = 1 , assim:

λ ' e   λ " =   1 ± ( 1 ) 2 - 4 1 1 2 1 = 1 2 ± - 3 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

1 2 ± 3 i 2 2 = 1 2 ± 3 ( i ) 2 2 = 1 2 ± 3 2 i  

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

f x = e α x A cos ⁡ β x + B sin ⁡ β x   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = 1 2   e   β = 3 2

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

f x = e 1 2 x A cos ⁡ 3 2 x + B sin ⁡ 3 2 x   = e 1 2 x A cos ⁡ 3 2 x + B sin ⁡ 3 2 x  

Nesse caso, precisamos também de f ' x , para aplicar o f ' x :

f ' x = d f x d x = e 1 2 x A cos ⁡ 3 2 x + B sin ⁡ 3 2 x   d x =

= 1 2 e 1 2 x A cos ⁡ 3 2 x + B sin ⁡ 3 2 x + e 1 2 x - 3 2 A sin ⁡ 3 2 x + 3 2 B cos ⁡ 3 2 x =

= e 1 2 x 1 2 A cos ⁡ 3 2 x + B sin ⁡ 3 2 x + 3 2 B cos ⁡ 3 2 x - A sin ⁡ 3 2 x =

= e 1 2 x cos ⁡ 3 2 x 3 2 B + 1 2 A + sin ⁡ 3 2 x - 3 2 A + 1 2 B

Ou seja, f ' x = e 1 2 x cos ⁡ 3 2 x 3 2 + 1 2 A + sin ⁡ 3 2 x - 3 2 A + 1 2 B

Passo 3

Vamos então fazer as substituições necessárias para encontrar A   e   B :

f 0 = e 1 2 × 0 A cos ⁡ 3 2 × 0 + B sin ⁡ 3 2 × 0   = A × 1 + B × 0 = A = 0

f ' 0 =   e 1 2 × 0 cos ⁡ 3 2 × 0 3 2 B + 1 2 A + sin ⁡ 3 2 × 0 - 3 2 A + 1 2 B = 3 2 B + 1 2 A =

3 2 B = 1 → B = 2 3 = 2 3 3

Passo 4

Ele pede a equação horária do movimento, ou seja, o f ( x ) :

f x = e 1 2 x A cos ⁡ 3 2 x + B sin ⁡ 3 2 x  

Assim, substituindo os valores de A   e   B , teremos:

f x = e 1 2 x 2 3 3 sin ⁡ 3 2 x   = 2 3 3 e 1 2 x sin ⁡ 3 2 x

Resposta

f x = e 1 2 x 2 3 3 sin ⁡ 3 2 x   = 2 3 3 e 1 2 x sin ⁡ 3 2 x

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