Resolva a equação

o) y¨ + 3y˙ + 3y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + 3 y ˙ + 3 y = 0 → λ 2 e λ t + 3 λ e λ t + 3 e λ t = e λ t λ 2 + 3 λ + 3 = 0

e λ t λ 2 + 3 λ + 3 = 0 → λ 2 + 3 λ + 3 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 3   e   c = 3 , assim:

λ ' e   λ " =   - 3 ± 3 2 - 4 1 3 2 1 = - 3 2   ± - 3 2  

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 3 2 ± 3 i 2 2 = - 3 2 ± 3 ( i ) 2 2 = - 3 2 ± 3 2 i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

y t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 3 2   e   β = 3 2  

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

y t = e - 3 2 t A cos ⁡ 3 2 t + B sin ⁡ 3 2 t  

Resposta

y t = e - 3 2 t A cos ⁡ 3 2 t + B sin ⁡ 3 2 t  

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