Enunciado

A função s t descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos.

  1. Encontre as funções velocidade e aceleração.
  2. Encontre no instante t = 1 a posição, a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração.
  3. Em que instantes a partícula está parada?
  4. Quando a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade?
  5. Encontre a distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 .

s t = 1 4 t 2 - ln ⁡ t + 1 ,           t ≥ 0

Passo 1

  1. Para acha a função velocidade é só derivar a função posição, vamos lá:
  2. v t = s ' t = 1 4 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 1 t + 1 1 + 0 = t 2 - 1 t + 1 = t t + 1 - 2 2 t + 1 = t 2 + t - 2 2 t + 1

    E a função aceleração é a derivada da função velocidade, vamos então derivar:

    a t = v ' t = 2 t 2 - 1 + 1 - 0 2 t + 2 - t 2 + t - 2 2 + 0 2 t + 1 2 =

    = 2 t + 1 2 t + 2 - 2 t 2 + t - 2 4 t + 1 2 = 4 t 2 + 4 t + 2 t + 2 - 2 t 2 - 2 t + 4 4 t + 1 2 =

    = 2 t 2 + 4 t + 6 4 t + 1 2 = t 2 + 2 t + 3 2 t + 1 2

    Passo 2

  3. Aqui vamos substituir o valor de t = 1 para achar a posição, a velocidade e a aceleração em suas respectivas fórmulas achadas no passo anterior:
  4. s 1 = 1 4 ⋅ 1 2 - ln ⁡ 1 + 1 = 1 4 - ln ⁡ 2 = - 0,443

    v 1 = 1 2 + 1 - 2 2 1 + 1 = 1 + 1 - 2 2 ⋅ 2 = 0

    a 1 = 1 2 + 2 ⋅ 1 + 3 2 1 + 1 2 = 1 + 2 + 3 2 ⋅ 2 2 = 6 2 ⋅ 4 = 3 4

    Já a velocidade escalar como descreve somente quão rápido uma partícula se move, ela é dada pela fórmula:

    v t = s ' t

    Vamos substituir o valor:

    v 1 = s ' 1 = 0 = 0

    Passo 3

  5. A partícula está parada no tempo em que a função velocidade é igual a zero, vamos igualar a função a zero e achar o tempo:
  6. v t = t 2 + t - 2 2 t + 1 = 0 → t 2 + t - 2 = 0 →

    t = 1

    t = - 2

    A partícula então está parada em t = 1 , pois t = - 2 está fora do intervalo t ≥ 0 .

    Passo 4

  7. A partícula aumenta a velocidade se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal; e a partícula diminui se a velocidade e a aceleração tiverem sinal oposto.
  8. Vamos ver onde a velocidade e aceleração é positiva e negativa:

    No intervalo de tempo em t ≥ 0 , v t muda de sinal em t = 1 e a t muda de sinal em:

    a t = t 2 + 2 t + 3 2 t + 1 2 = 0 → t 2 + 2 t + 3 = 0

    A equação não possui raiz real, então a t não muda de sinal.

    Temos que a velocidade v t > 0 quando t > 1 e v t < 0 quando 0 < t < 1 .

    Assim a partícula está acelerando em t > 1 e desacelerando em 0 < t < 1 .

    Passo 5

  9. A distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 não deve levar em conta o quanto foi percorrido totalmente, não podendo pegar simplesmente a posição final e inicial e subtrair, assim deve ser levado em consideração o ponto onde ele estava parado, vamos então calcular pela fórmula:

s 5 - s 1 + s 1 - s 0

s 5 = 1 4 ⋅ 5 2 - ln ⁡ 5 + 1 = 4,458

s 1 = 1 4 ⋅ 1 2 - ln ⁡ 1 + 1 = - 0,443

s 0 = 1 4 ⋅ 0 2 - ln ⁡ 0 + 1 = 0

Substituindo:

s 5 - s 1 + s 1 - s 0 = 4,458 - - 0,443 + - 0,443 - 0 =

= 4,458 + 0,443 + - 0,443 = 4 , 901 + 0,443 = 4,901 + 0,443 = 5,344

Assim, A distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 é de 5,344 metros.

Resposta

  1. v t = t t + 1 - 2 2 t + 1 e a t = t 2 + 2 t + 3 2 t + 1 2
  2. s 1 = - 0,443 , v 1 = 0 , a 1 = 3 4 e v 1 = 0
  3. t = 1
  4. A partícula está acelerando em t > 1 e desacelerando em 0 < t < 1
  5. 5,344 m
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