Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com a equação de movimento s = f t , onde s é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade e a velocidade quando t = 4 .

f t = 10 + 45 t + 1

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão disse pra gente que a função

f t = 10 + 45 t + 1

Descreve o movimento de uma partícula com o passar do tempo, e pede pra gente calcular a velocidade escalar para o intante de tempo t = 4 .

O que precisaremos para resolver essa questão é saber que para casos desse tipo, a velocidade será sempre a derivada da função posição.

E uma das definições da derivada é:

lim h → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

Onde, vamos calcular o limite para uma variação infinitesimal de t , fazendo h → 0 .

Vem comigo que te ajudo com isso no passo a passo.

Passo 2

Beleza, a nossa equação de movimento é:

f t = 10 + 45 t + 1

E a definição de derivada pro ponto t = 4 é:

f ' 4 = lim h → 0 ⁡ f 4 + h - f ( 4 ) h

Passo 3

Show de bola, a gente só coloca a função a nossa equação de movimento dentro da definição e fica:

f ' 4 = lim h → 0 ⁡ f 4 + h - f 4 h

Sendo:

f 4 + h = 10 + 45 4 + h + 1

= 10 + 45 h + 5

= 10 h + 50 + 45 h + 5

= 10 h + 9 5 h + 5

E

f 4 = 10 + 45 4 + 1

= 10 + 45 5

= 10 + 9 = 19

Substituindo no limite, teremos:

f ' 4 = lim h → 0 ⁡ 10 h + 95 h + 5 - 19 h

Resolvendo:

lim h → 0 ⁡ 95 + 10 h - 95 - 19 h 5 + h h

Reduzindo os semelhantes

lim h → 0 ⁡ - 9 h 5 + h h

Que simplificando, nos dá:

lim h → 0 ⁡ - 9 5 + h 1

lim h → 0 ⁡ - 9 5 + h

E finalmente, aplicando o limite, ficaremos com:

lim h → 0 ⁡ - 9 5 + h = - 1,8

Então:

f ' 4 = - 1,8   m / s

Essa é nossa velocidade.

Resposta

- 1,8   m / s

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Mostre que a função g x = 2 x + 1 ,s e x1 - x + 4 ,s e x ≥ 1 Não é derivável em p = 1 . Esboce o gráfico de g .
16- Seja f x = 2s ex ≥ 0x 2 + 2s ex0 a)Esboce o gráfico de f .b) f é derivável em p = 0? Em caso afirmativo, calcule f ´ 0 .
Calcule f^' (x) .f (x) = 3 x^2 + 5
Calcule f^' (x) .f (x) = 5 + 3 x^(- 2)
Calcule f^' (x) .f (x) = 2 x + (1)/(x) + (1)/(x^2)