Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com a equação de movimento s = f t , onde s é medido em metros e t em segundos. Encontre a posição e a velocidade quando t = 4 .

f t = 80 t - 6 t 2

Passo 1

Bom galera, a gente tem uma equação de movimento que nos dá o espaço (posição) s como uma função do tempo:

s = f t

s = 80 t - t 2

E ela quer que encontremos a posição e a velocidade quando t = 4 s .

Para encontrar a posição, basta substituir t = 4 na função dada.

Para encontrar a velocidade a partir da posição, nós devemos derivar a posição com relação ao tempo. Pois derivada é a taxa de variação da função com sua variável, e a velocidade nada mais é que a taxa de variação da posição com o tempo.

Então com a derivada dela a gente encontra a velocidade.

E uma das definições da derivada é:

lim x → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

Passo 2

Beleza, a nossa equação de movimento é:

f t = 80 t - 6 t 2

Para encontrar a posiçãoem t = 4 , basta fazermos:

f 4 = 80 4 - 6 16 = 224 m

Passo 3

Para a velocidade,temos que:

f t = 80 t - 6 t 2

E temos que:

f t + h = 80 t + h - 6 t + h 2

E a definição de derivada pro ponto t = 4 é:

f ' 4 = lim x → 0 ⁡ f 4 + h - f ( 4 ) h

Dessa forma:

f 4 + h = 80 4 + h - 6 4 + h 2

E já vimos que:

f 4 = 224

Passo 4

Show de bola, a gente só coloca a função a nossa equação de movimento dentro da definição e fica:

f ' 4 = lim x → 0 ⁡ f 4 + h - f 4 h

→ lim x → 0 ⁡ 80 4 + h - 6 4 + h 2 - 224 h

Resolvendo:

→ lim x → 0 ⁡ ( 320 + 80 h ) - ( 96 + 48 h + 6 h 2 ) - 224 h

→ lim x → 0 ⁡ ( 224 + 32 h - 6 h 2 ) - 224 h

→ lim x → 0 ⁡ 32 h - 6 h 2 h

E simplificando h com h , obtemos:

lim x → 0 ⁡ 32 - 6 h 1

Agora, basta substituir o valor do limite, e obtemos:

lim x → 0 ⁡ 32 - 6 h 1 = 32 - 6 0 1 = 32

Então:

f ' 4 = 32   m / s

Essa é nossa velocidade.

Resposta

224 m

32   m / s

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Calcule f^' (x) .f (x) = 3 x + sqrt(x)
Calcule f^' (x) .f (x) = (2)/(3) x^3 + (1)/(4) x^2