Enunciado

Uma função, com domínio simétrico em relação à origem, é par se f ( - x ) = f ( x ) e é ímpar se f ( - x ) = - f ( x ) , qualquer que seja x pertencente ao domínio.

a) Prove que, se f é ímpar e 0 pertence ao seu domínio, então f ( 0 ) = 0 .

b) Prove que, se f é par e ímpar, então f x = 0

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Comecemos provando o item a)

Usemos os dados do enunciado da seguinte maneira:

0 ∈ D f ,   f   é   í m p a r → f - 0 = - f 0 → - f 0 + f 0 = 0 → f 0 = 0

Feito!

Passo 2

Vamos terminar provando o item b)

Usando as informações do enunciado temos que:

f   é   í m p a r   → f - x = - f x                                                   ( I )

f   é   p a r   → f - x = f x                                                                     ( I I )

De (I) e (II), temos:

- f x = f x → 2 f x = 0 → f x = 0               ∀   x

Resposta

Vide demonstração.

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