Enunciado

Calcule, caso existe, underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) em que f é dada por

f (x) = {[[x^2 sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]])

Passo 1

Para um limite existir – ou seja, ter como resposta um número – os limites laterais precisam existir (ou seja, loga acima e logo abaixo do valor de x), e também valer exatamente o mesmo valor do limite desse x . Se esses limites laterais não existirem ou forem diferentes, o limite para x tendendo a esse ponto não vai existir!

Só pra ficar mais claro, se o limite de x +- 0,0000000001 (ou qualquer outro valor muito muito pequeno) é igual a 1, o limite de x tem que ser aproximadamente 1.

Nessa questão, como sabemos que f ( 0 ) = 0 , pela especificação que foi dada no enunciado, precisamos calcular os limites laterais.

Passo 2

Temos que ver então se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = L então underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = L

Vamos lá, vamos analisar o limite:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0)

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 0 pela direita, vamos pegar a condição e substituir no limite:

f (x) = x^2 sen (1)/(x)

f (0) = 0

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) (x^2 sen (1)/(x) - 0)/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) (x^2 sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) x sen ((1)/(x))

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos percerber que temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores [- 1,1] , assim:

- 1 <= sen (1)/(x) <= 1

Agora vamos multiplicar tudo por x , deixando a função igual a do limite:

- x <= x sen (1)/(x) <= x

Passo 4

Agora nós temos uma das condição do Teorema do Confronto:

- x <= x sen (1)/(x) <= x => f ( x ) <= g ( x ) <= h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) - x = underset(x -> 0 ⁺)(lim) x

Passo 5

Vemos que:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) - x = 0

e que:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) x = 0

Assim,

underset(x -> 0 ⁺)(lim) - x = underset(x -> 0 ⁺)(lim) x = 0

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (x sen (1)/(x)) = 0

Passo 6

Agora com x tendendo a 0 pela esquerda vamos pegar a condição e substituir no limite:

(x) = x^2 sen (1)/(x)

f (0) = 0

underset(x -> 0 ⁻)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) (x^2 sen (1)/(x) - 0)/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) (x^2 sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) x sen ((1)/(x))

Passo 7

Para calculcar esse limite, é só fazer do mesmo jeito que acabamos de calcular o limite , apenas trocando o limite lateral, assim:

underset(x -> 0 ⁻)(lim) (x sen (1)/(x)) = 0

Temos então que:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = 0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = 0

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