Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por

f x = x 2 sen ⁡ 1 x     s e     x ≠ 0 0     s e     x = 0

Passo 1

Para um limite existir – ou seja, ter como resposta um número – os limites laterais precisam existir (ou seja, loga acima e logo abaixo do valor de x), e também valer exatamente o mesmo valor do limite desse x . Se esses limites laterais não existirem ou forem diferentes, o limite para x tendendo a esse ponto não vai existir!

Só pra ficar mais claro, se o limite de x ± 0,0000000001 (ou qualquer outro valor muito muito pequeno) é igual a 1, o limite de x tem que ser aproximadamente 1.

Nessa questão, como sabemos que f ( 0 )   =   0 , pela especificação que foi dada no enunciado, precisamos calcular os limites laterais.

Passo 2

Temos que ver então se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁻ ⁡ f x - f 0 x - 0 = L então lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = L

Vamos lá, vamos analisar o limite:

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 0 pela direita, vamos pegar a condição e substituir no limite:

f x = x 2 sen ⁡ 1 x

f 0 = 0

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁺ ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁺ ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁺ ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos percerber que temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores - 1,1 , assim:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Agora vamos multiplicar tudo por x , deixando a função igual a do limite:

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x

Passo 4

Agora nós temos uma das condição do Teorema do Confronto:

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x ⇒ f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁺ ⁡ - x = lim x → 0 ⁺ ⁡ x

Passo 5

Vemos que:

lim x → 0 ⁺ ⁡ - x = 0

e que:

lim x → 0 ⁺ ⁡ x = 0

Assim,

lim x → 0 ⁺ ⁡ - x = lim x → 0 ⁺ ⁡ x = 0

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 0 ⁺ ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

Passo 6

Agora com x tendendo a 0 pela esquerda vamos pegar a condição e substituir no limite:

x = x 2 sen ⁡ 1 x

f 0 = 0

lim x → 0 ⁻ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁻ ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁻ ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁻ ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 7

Para calculcar esse limite, é só fazer do mesmo jeito que acabamos de calcular o limite , apenas trocando o limite lateral, assim:

lim x → 0 ⁻ ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

Temos então que:

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁻ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = 0

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