Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

Para isso, a questão quer que usemos a regra de L’Hôspital quando for apropriado.

Mas que regra é essa??

A Regra de L'Hôpital é uma técnica no cálculo diferencial que é utilizada para avaliar limites indeterminados do tipo 0 / 0 ​ ou ∞ / ∞ .

Se a gente tiver indeterminação desse tipo, temos que derivar o numerador e o denominador da função e prosseguir aplicando o limite.

E aí?? Bora aplicar?? 😉 ​

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 → e 0 - 1 - 0 0 2 → 1 - 1 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x ' x 2 ' = l i m x → 0 e x - 1 2 x

Aplicando o limite:

l i m x → 0 e x - 1 2 x = e 0 - 1 2 * 0 ∴

e x - 1 2 x = 0 0

Passo 4

Vamos aplicar novamente L’Hospital:

l i m x → 0 e x - 1 ' 2 x ' = l i m x → 0 e x 2 ∴

Aplicando o limite:

l i m x → 0 e x 2 = e 0 2 ∴  

l i m x → 0 e x 2 = 1 2  

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 = 1 2

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