Enunciado

A função y = s e n ( t 2 ) pode ser solução, em um intervalo contendo t = 0 , de uma equação da forma y ' ' + p t y ' + q t y = 0   com coeficientes contínuos? Explique sua resposta.

Passo 1

Primeiro vamos supor que p ( t ) e q ( t ) são contínuas, porque se não forem, teríamos que considerar as descontinuidades delas.

Derivamos duas vezes a possível solução dada pelo enunciado:

y = s e n ( t 2 )

y ' = 2 t c o s ( t 2 )

y ' ' = 2 cos ⁡ t 2 - 4 t 2 s e n ( t 2 )

Passo 2

E substituímos y e suas derivadas na equação diferencial:

2 cos ⁡ t 2 - 4 t 2 s e n t 2 + p t 2 t c o s t 2 + q t s e n t 2 = 0

Agora verificamos se o ponto dado em que a função é continua ( t = 0 ) que o enunciado fala é uma solução da equação:

2 cos ⁡ 0 2 - 4 0 2 s e n ( 0 2 ) + p 0 2 ( 0 ) c o s 0 2 + q t s e n 0 2 = 0

Só o primeiro termo que não irá zerar, ficando o seguinte:

2 cos ⁡ 0 2 = 0

O que dá

2 = 0

Que é impossível, então a função dada não pode ser solução no intervalo descrito pelo enunciado.

Resposta

N ã o

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