Se f é uma função positiva e f''(x) < 0 para a <= x <= b , mostre que

T n < ∫ a b f x d x < M n

Passo 1

Vamos lá, como as aproximações do Trapézio e do Ponto Médio no intervalo a , b são as somas das aproximações do Trapézio e do Ponto Médio nos subintervalos x i - 1 , x i , onde i = 1,2 , … , n , nós podemos focar em apenas um desses subintervalos.

A condição f ' ' x < 0 para a ≤ x ≤ b significa que o gráfico é côncavo para baixo, como na figura abaixo:

Nela, T n é a área dp trapézio A Q R D , ∫ a b f x d x é a área da região A Q P R D , e M n é a área do trapézio A B C D , assim, T n < ∫ a b f x d x < M n   .  

Temos em geral, que a condição f ' ' < 0 implica que o gráfico de f em a , b encontra-se acima do local unindo os pontos a , f a e b , f b . Assim, ∫ a b f x d x > T n .

Como M n é a área abaixo da tangente do gráfico, e como f ' ' < 0 , implica que a tangente encontra-se acima do gráfico, assim vamos ter M n > ∫ a b f x d x .

Assim, temos que: T n < ∫ a b f x d x < M n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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