Enunciado

Se f é uma função positiva e f^(' ') (x) < 0 para a <= x <= b , mostre que

T_n < int_a^b f (x) d x < M_n

Passo 1

Vamos lá, como as aproximações do Trapézio e do Ponto Médio no intervalo [a , b] são as somas das aproximações do Trapézio e do Ponto Médio nos subintervalos [x_i - 1 , x_i] , onde i = 1,2 , ... , n , nós podemos focar em apenas um desses subintervalos.

A condição f^(' ') (x) < 0 para a <= x <= b significa que o gráfico é côncavo para baixo, como na figura abaixo:

Nela, T_n é a área dp trapézio A Q R D , int_a^b f (x) d x é a área da região A Q P R D , e M_n é a área do trapézio A B C D , assim, T_n < int_a^b f (x) d x < M_n .

Temos em geral, que a condição f^(' ') < 0 implica que o gráfico de f em [a , b] encontra-se acima do local unindo os pontos (a , f (a)) e (b , f (b)) . Assim, int_a^b f (x) d x > T_n .

Como M_n é a área abaixo da tangente do gráfico, e como f^(' ') < 0 , implica que a tangente encontra-se acima do gráfico, assim vamos ter M_n > int_a^b f (x) d x .

Assim, temos que: T_n < int_a^b f (x) d x < M_n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área
Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área
Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área
Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área
Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área