Enunciado

10. Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = x 2 + 5 25 - x ²

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

25 - x 2 ≠ 0 ⇒ x 2 ≠ 25 ⇒ x ≠ 5         e         x ≠ ± 5

Assim, temos que:

D = x ∈ I R x ≠ - 5       e   x ≠ 5 }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f 0 = 0 2 + 5 25 - 0 2 = 1 5

E agora para y = 0 :

0 = x 2 + 5 25 - x ² ⇒ x 2 + 5 = 0 ⇒ x 2 = - 5

E como não existe raiz de um número negativo, quer dizer que f x = 0 não existe.

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando x = 1 :

  1. f - 1 = f 1 ⇒ - 1 2 + 5 25 - ( - 1 ) ² = 1 2 + 5 25 - ( 1 ) ² ⇒ 1 4 = 1 4
  2. f - 1 =   - f 1 ⇒ - 1 2 + 5 25 - - 1 2 = - 1 2 + 5 25 - 1 2 ⇒ 1 4 ≠ - 1 4
  3. Não possui período.

Logo, como a função satisfaz a propriedade (a), quer dizer que temos uma simetria em relação ao eixo y.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se f x = L     e f x = L   ,     então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que f x = ∞   ( o u - ∞ )   , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

f x = ∞                                                         f x = ∞    

f x =   - ∞                                                   f x =   - ∞    

Temos:

x 2 + 5 25 - x ² = x ² 1 + 5 x 2 x ² 25 x 2 - 1 = 1 + 5 x 2 25 x 2 - 1 = 1 - 1 = - 1

Assim, temos uma assíntota horizontal em - 1 .

E como vimos em x = ± 5 , nossa função y não está definida então quer dizer que nesses pontos temos assíntotas verticais.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Aplicando a regra do quociente na função y = x 2 + 5 25 - x ² , temos:

f ' = 2 x 25 - x 2 - - 2 x x 2 + 5 25 - x 2 2

f ' x = 60 x ( 25 - x 2 ) ²

E igualando a zero temos que

60 x ( 25 - x 2 ) ² = 0

60 x = 0

x = 0

Logo, f é crescente para ( 0 , ∞ ) e decrescente em - ∞ ,   0 . E além disso temos que para x = ± 5 , f ' ( x ) não existe, o que faz deles pontos críticos da função.

Passo 6

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' x = 60 x ( 25 - x 2 ) ²

f ' ' x = 60 25 - x 2 2 - 60 x - 4 x 25 - x 2 25 - x 2 4 = 25 - x 2 180 x 2 + 1500 25 - x 2 4

f ' ' x = 25 - x 2 180 x 2 + 1500 25 - x 2 4

E agora igualando a zero, temos

f ' ' x = 25 - x 2 180 x 2 + 1500 25 - x 2 4 = 0

25 - x 2 180 x 2 + 1500 = 0

Logo, isso só é possível para x = ± 5 . Portanto a função é côncava para cima em

C C = ( - 5 ,   5 )

E côncava para baixo em:

C B = - ∞ ,   - 5 ∪ 5 ,   ∞

Passo 7

Agora que temos todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de f ( x ) , fica desse jeitinho ó:

Resposta

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