Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 10
10. Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:
Assim, temos que:
Passo 2
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .
Assim, temos que:
E agora para :
E como não existe raiz de um número negativo, quer dizer que não existe.
Passo 3
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
- Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
- Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
- Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Para esta função, tomando :
- Não possui período.
Logo, como a função satisfaz a propriedade (a), quer dizer que temos uma simetria em relação ao eixo y.
Passo 4
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
- Assíntota horizontal:
- Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.
Temos:
Assim, temos uma assíntota horizontal em .
E como vimos em , nossa função não está definida então quer dizer que nesses pontos temos assíntotas verticais.
Passo 5
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Aplicando a regra do quociente na função , temos:
E igualando a zero temos que
Logo, é crescente para e decrescente em . E além disso temos que para , não existe, o que faz deles pontos críticos da função.
Passo 6
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
E agora igualando a zero, temos
Logo, isso só é possível para . Portanto a função é côncava para cima em
E côncava para baixo em:
Passo 7
Agora que temos todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de , fica desse jeitinho ó: